Каков результат нахождения ctg t, если t равно -7π/3?

Сверкающий_Гном

24

Хорошо, давайте решим задачу о нахождении значения контангенса \(ctg(t)\), если \(t = -\frac{7\pi}{3}\).

Для решения этой задачи, нам понадобится понимание, что контангенс - это обратная функция тангенсу. То есть, если мы знаем значение тангенса угла, мы можем найти соответствующее значение контангенса.

Так как \(t = -\frac{7\pi}{3}\), мы можем использовать несколько математических свойств для упрощения вычислений. Давайте посмотрим:

\[
ctg(t) = \frac{1}{\tan(t)}
\]

Мы знаем, что значение тангенса можно найти по формуле:

\[
\tan(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)}
\]

Теперь, чтобы найти ответ, посмотрим на значение синуса и косинуса угла \(t\):

\[
\sin(t) = \sin\left(-\frac{7\pi}{3}\right)
\]

\[
\cos(t) = \cos\left(-\frac{7\pi}{3}\right)
\]

Чтобы упростить вычисления, воспользуемся периодичностью синуса и косинуса. Так как аргументы функций \(-\frac{7\pi}{3}\) и \(-\pi\frac{7}{3} + 2\pi\) совпадают, значения синуса и косинуса будут такими же.

Теперь давайте вычислим значение синуса и косинуса угла \(-\frac{7\pi}{3}\):

\[
\sin\left(-\frac{7\pi}{3}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{3} - 2\pi\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)
\]

\[
\cos\left(-\frac{7\pi}{3}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{3} - 2\pi\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)
\]

Мы знаем, что значение синуса и косинуса угла \(-\frac{\pi}{3}\) равно:

\[
\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}
\]

\[
\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}
\]

Теперь, когда у нас есть значения синуса и косинуса, мы можем найти значение тангенса:

\[
\tan(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = -\sqrt{3}
\]

Наконец, мы можем найти значение контангенса по формуле:

\[
ctg(t) = \frac{1}{\tan(t)} = \frac{1}{-\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}
\]

Таким образом, результат нахождения \(ctg(t)\), где \(t = -\frac{7\pi}{3}\), равен \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\).