Как можно доказать, что неравенство (ad+bc)/bd + (bc+ad)/ac >

Котенок

6

Для начала давайте разложим дроби на простые слагаемые:

\[\frac{{ad+bc}}{{bd}} + \frac{{bc+ad}}{{ac}}\]

Для удобства мы можем все слагаемые умножить на общий знаменатель \(acbd\):

\[\frac{{ad+bc}}{{bd}} \cdot \frac{{acd}}{{acd}} + \frac{{bc+ad}}{{ac}} \cdot \frac{{bd}}{{bd}}\]

Теперь, умножив числитель и знаменатель каждой дроби, раскроем скобки:

\[\frac{{ad \cdot acd + bc \cdot acd}}{{bd \cdot acd}} + \frac{{bc \cdot bd + ad \cdot bd}}{{ac \cdot bd}}\]

Сократим подобные слагаемые в каждой дроби:

\[\frac{{acd(ad + bc) + bd(bc + ad)}}{{acd \cdot bd}}\]

Теперь сложим числители:

\[acd(ad + bc) + bd(bc + ad)\]

Раскроем скобки:

\(ad \cdot acd + bc \cdot acd + bd \cdot bc + bd \cdot ad\)

Упростим выражение:

\(ad(acd+bd) + bc(acd+bd)\)

Вынесем общий множитель:

\((ad+bc)(acd+bd)\)

Таким образом, мы получили, что исходное выражение равно \((ad+bc)(acd+bd)\). Доказав данное равенство, мы подтвердили, что \(\frac{{ad+bc}}{{bd}} + \frac{{bc+ad}}{{ac}}\) равно \((ad+bc)(acd+bd)\).