Каков результат выражения 15!/13! 6!-3!/8! 20!/18!*2!?

Morskoy_Plyazh

67

Хорошо, рассмотрим данное выражение подробно и пошагово.

1. Начнем с первого слагаемого: \(15!/13!6!\). Чтобы решить эту часть, нам нужно вычислить факториал числа 15 (\(15!\)) и факториал числа 13 (\(13!\)).

Факториал числа — это произведение всех натуральных чисел, начиная от 1 до этого числа. Например, \(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\).

Таким образом, \(15! = 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\) и \(13! = 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\).

Заметим, что \(15!/13!\) равно \((15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)/(13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)\). Многие члены в числителе и знаменателе сокращаются, и остается только \(15 \times 14 = 210\).

Теперь у нас есть значение первого слагаемого: \(15!/13!6! = 210/6! = 210/6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\).

2. Перейдем ко второму слагаемому: \(3!/8!\). Здесь мы должны вычислить факториал числа 3 (\(3!\)) и факториал числа 8 (\(8!\)).

\(3! = 3 \times 2 \times 1\) и \(8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\).

Теперь вычислим \(3!/8!\). Заметим, что это равно \((3 \times 2 \times 1)/(8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)\). Снова происходит сокращение, и мы получаем \(3 \times 2 \times 1\) в числителе и \(8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\) в знаменателе.

3. Последнее слагаемое: \(20!/18! \times 2!\). Здесь мы должны вычислить факториал числа 20 (\(20!\)), факториал числа 18 (\(18!\)) и факториал числа 2 (\(2!\)).

\(20! = 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\),
\(18! = 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\)
и \(2! = 2 \times 1\).

Теперь рассмотрим \(20!/18! \times 2!\). Заметим, что это равно \((20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)/(18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1)\).

Снова происходит сокращение многих членов в числителе и знаменателе, и остается только \(20 \times 19 \times 1\) в числителе и \(2 \times 1\) в знаменателе.

4. Теперь сложим все слагаемые:
\(210/6! - 3!/8! + (20 \times 19) / (2 \times 1)\)

\(6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720\),

\(3!/8! = (3 \times 2 \times 1)/(8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) = 1/(8 \times 7) = 1/56\),

\(20 \times 19 = 380\),

и \((2 \times 1) = 2\).

Теперь мы можем подставить найденные значения:

\(210/720 - 1/56 + 380/2 = 210/720 - 1/56 + 190 = 7/24 - 1/56 + 190\).

Для более удобного сложения дробей с разными знаменателями, найдем общий знаменатель.
Общим знаменателем для 24 и 56 является их наименьшее общее кратное (НОК), которым является число 168.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю:

\(7/24 = 49/168\),

\(1/56 = 3/168\),

и \(190 = 190/1\).

Теперь сложим дроби:

\(49/168 - 3/168 + 190/1 = 49/168 + (190 \times 168/(1 \times 168)) - 3/168\)

\(= 49/168 + 31920/168 - 3/168\)

\(= (49 + 31920 - 3)/168\)

\(= 31966/168\).

Наконец, можно упростить полученную дробь:

\(31966/168 = 379/2\).

Итак, результат выражения \(15!/13!6! - 3!/8! + 20!/18! \times 2!\) равен \(379/2\).