Каков результат выражения (2 в степени 1/3) умножить на (9 в степени -1/3) разделить на (6 в степени -2/3) умножить

Artur_1658

22

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово. Для начала, давайте вспомним некоторые правила работы со степенями. Когда у нас есть степень с отрицательным показателем, мы можем взять обратное значение основания и сменить знак показателя степени. Например, \(a^{-b} = \frac{1}{a^b}\).

Теперь рассмотрим каждый шаг задачи:

Шаг 1: Выразим каждое основание в рациональной степени, чтобы получить общий знаменатель.
У нас есть \(2^{\frac{1}{3}}\), \(9^{-\frac{1}{3}}\), \(6^{-\frac{2}{3}}\) и \(4^{\frac{3}{2}}\).

Шаг 2: Приведем каждое выражение к общему знаменателю.
Заметим, что \(2^{\frac{1}{3}}\) и \(6^{-\frac{2}{3}}\) имеют общий знаменатель 6:
\[2^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{6^{\frac{1}{3}}}.\]
\[6^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{(6^{\frac{1}{3}})^2} = \frac{1}{6^{\frac{2}{3}}}.\]

Теперь у нас имеется следующее выражение:
\[\frac{\left(\frac{2}{6^{\frac{1}{3}}}\right) \cdot 9^{-\frac{1}{3}}}{6^{-\frac{2}{3}}} \cdot 4^{\frac{3}{2}}.\]

Шаг 3: Упростим полученное выражение.
Вспомним, что \(a^{-b} = \frac{1}{a^b}\). Применим это правило к \(9^{-\frac{1}{3}}\):
\[9^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{9^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{3}.\]

Теперь у нас остается:
\[\frac{\left(\frac{2}{6^{\frac{1}{3}}}\right) \cdot \frac{1}{3}}{6^{-\frac{2}{3}}} \cdot 4^{\frac{3}{2}}.\]

Теперь обратимся к \(6^{-\frac{2}{3}}\). Здесь мы можем применить правило \(a^{-b} = \frac{1}{a^b}\):
\[6^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{6^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{6^2}}.\]

В итоге получим:
\[\frac{\left(\frac{2}{6^{\frac{1}{3}}}\right) \cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{\sqrt[3]{6^2}}} \cdot 4^{\frac{3}{2}}.\]

Шаг 4: Упростим выражение дальше.
Для того чтобы умножить две дроби, мы можем перемножить числители и знаменатели:
\[\frac{\left(\frac{2}{6^{\frac{1}{3}}}\right) \cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{\sqrt[3]{6^2}}} = \frac{(2) \cdot (6^{\frac{2}{3}})}{3}.\]

Теперь у нас остается:
\[\frac{(2) \cdot (6^{\frac{2}{3}})}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}.\]

Шаг 5: Обратимся к \(6^{\frac{2}{3}}\). Здесь мы получим числитель дроби:
\[(2) \cdot (6^{\frac{2}{3}}) = 2 \cdot \sqrt[3]{6^2}.\]

Теперь у нас остается:
\[\frac{2 \cdot \sqrt[3]{6^2}}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}.\]

Шаг 6: Вспомним, что \(4^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 2^{3} = 8\).

Теперь у нас остается:
\[\frac{2 \cdot \sqrt[3]{6^2}}{3} \cdot 8.\]

Шаг 7: Умножим выражение, чтобы получить итоговый ответ:
\[\frac{2 \cdot \sqrt[3]{6^2}}{3} \cdot 8 = \frac{2 \cdot 8 \cdot \sqrt[3]{6^2}}{3} = \frac{16 \cdot \sqrt[3]{36}}{3}.\]

Итак, результат выражения (2 в степени 1/3) умножить на (9 в степени -1/3) разделить на (6 в степени -2/3) умножить на (4 в степени 3/2) равен \(\frac{16 \cdot \sqrt[3]{36}}{3}\).