Каков результат выражения: { [ sin(a+3b) + sin(a-3b) ] / [ sin(a+3b) - sin(a-3b) ] } * ctg(a)?

Svetlyachok_V_Trave

15

Для начала, давайте разберемся с тригонометрическими функциями, которые встречаются в этом выражении.

Функция синуса (sin) определяется как отношение противолежащего катета (расстояния от опорной точки до прямой, проходящей через начало координат и точку на единичной окружности) к гипотенузе (расстояние от начала координат до точки на окружности). Функция котангенса (ctg) определяется как отношение смежного катета к противолежащему катету.

Используя формулу разности синусов, которая гласит \(\sin(x - y) = \sin(x)\cos(y) - \cos(x)\sin(y)\), мы можем переписать выражение в следующем виде:

\[
\frac{{[\sin(a)\cos(3b) - \cos(a)\sin(3b)] + [\sin(a)\cos(3b) + \cos(a)\sin(3b)]}}{{[\sin(a)\cos(3b) - \cos(a)\sin(3b)] - [\sin(a)\cos(3b) + \cos(a)\sin(3b)]}} \cdot \ctg(a)
\]

После сокращения подобных слагаемых, мы получим:

\[
\frac{{2\sin(a)\cos(3b)}}{{-2\cos(a)\sin(3b)}} \cdot \ctg(a)
\]

Далее, можно заметить, что константы -2 и 2 в числителе и знаменателе сокращаются:

\[
\frac{{\sin(a)\cos(3b)}}{{-\cos(a)\sin(3b)}} \cdot \ctg(a)
\]

Используя формулу для тангенса, а именно \(\ctg(x) = \frac{1}{{\tan(x)}}\), выражение можно упростить:

\[
\frac{{\sin(a)\cos(3b)}}{{-\cos(a)\sin(3b)}} \cdot \frac{1}{{\tan(a)}}
\]

Теперь, обратимся к формуле для синуса утроенного угла, которая дает нам \(\sin(3x) = 3\sin(x) - 4\sin^3(x)\). Подставим эту формулу в выражение:

\[
\frac{{\sin(a)\cos(3b)}}{{-\cos(a)(3\sin(b) - 4\sin^3(b))}} \cdot \frac{1}{{\tan(a)}}
\]

Теперь упростим выражение, учитывая, что \(\frac{{\sin(a)}}{{\cos(a)}} = \tan(a)\):

\[
\frac{{\sin(a)\cos(3b)}}{{-\cos(a)(3\sin(b) - 4\sin^3(b))}} \cdot \frac{1}{{\tan(a)}} = \frac{{\sin(a)\cos(3b)}}{{-\tan(a)(3\sin(b) - 4\sin^3(b))}}
\]

Окончательно, мы можем записать выражение как:

\[
\frac{{\sin(a)\cos(3b)}}{{-\tan(a)(3\sin(b) - 4\sin^3(b))}}
\]

Это и есть итоговый результат данного выражения.