Каков синус угла ϕ между прямой AM и плоскостью, содержащей диагональ BB1 и DD1, в кубе ABCDA1B1C1D1 с длиной ребра

  • 9
Каков синус угла ϕ между прямой AM и плоскостью, содержащей диагональ BB1 и DD1, в кубе ABCDA1B1C1D1 с длиной ребра 1 единица измерения, где на ребре A1D1 отмечена точка M так, что A1M:MD1=3:4?
Валентин
49
Для начала, давайте разберемся, что такое синус угла. Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника. В данной задаче нам нужно найти синус угла между прямой AM и плоскостью, содержащей диагональ BB1 и DD1 в кубе ABCDA1B1C1D1.

Для начала, найдем длину диагонали BB1 в кубе. Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABC, где AB - длина ребра куба, а AC и BC - диагонали грани. Так как ребро куба равно 1 единице измерения, мы можем записать:

AC2=AB2+BC2
AC=12+12=2

Таким образом, длина диагонали BB1 равна 2 единицам.

Теперь найдем длину диагонали DD1. Рассмотрим треугольник A1BD1. Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника A1BD1, где A1D1 - диагональ куба, а A1B и BD1 - диагонали граней. Так как длина ребра куба равна 1 единице измерения, мы можем записать:

A1B2=A1D12+BD12
AB=A1D12+BD12

Теперь нам нужно найти длину A1M и MD1. Дано, что A1M:MD1 = 3:4. Мы можем представить A1M и MD1 как 3x и 4x, соответственно. Тогда сумма длин A1M и MD1 будет равна длине A1D1:

A1M+MD1=A1D1
3x+4x=A1D1
7x=A1D1

Теперь мы можем записать уравнение для длины диагонали DD1 с использованием значения A1D1:

BD1=A1D12A1B2
BD1=(7x)212
BD1=49x21

Теперь, когда мы знаем длины диагоналей BB1 и DD1, мы можем найти синус угла ϕ между прямой AM и плоскостью, содержащей диагональ BB1 и DD1.

Синус угла ϕ можно найти как отношение длины противолежащего катета (A1M) к гипотенузе (MD1):

sin(ϕ)=A1MMD1
sin(ϕ)=3x4x
sin(ϕ)=34

Таким образом, синус угла ϕ между прямой AM и плоскостью, содержащей диагональ BB1 и DD1, равен 34.