Каков синус угла ϕ между прямой AM и плоскостью, содержащей диагональ BB1 и DD1, в кубе ABCDA1B1C1D1 с длиной ребра

Валентин

49

Для начала, давайте разберемся, что такое синус угла. Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника. В данной задаче нам нужно найти синус угла между прямой AM и плоскостью, содержащей диагональ BB1 и DD1 в кубе ABCDA1B1C1D1.

Для начала, найдем длину диагонали BB1 в кубе. Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABC, где AB - длина ребра куба, а AC и BC - диагонали грани. Так как ребро куба равно 1 единице измерения, мы можем записать:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]
\[AC = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\]

Таким образом, длина диагонали BB1 равна \(\sqrt{2}\) единицам.

Теперь найдем длину диагонали DD1. Рассмотрим треугольник A1BD1. Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника A1BD1, где A1D1 - диагональ куба, а A1B и BD1 - диагонали граней. Так как длина ребра куба равна 1 единице измерения, мы можем записать:

\[A1B^2 = A1D1^2 + BD1^2\]
\[AB = \sqrt{A1D1^2 + BD1^2}\]

Теперь нам нужно найти длину A1M и MD1. Дано, что A1M:MD1 = 3:4. Мы можем представить A1M и MD1 как 3x и 4x, соответственно. Тогда сумма длин A1M и MD1 будет равна длине A1D1:

\[A1M + MD1 = A1D1\]
\[3x + 4x = A1D1\]
\[7x = A1D1\]

Теперь мы можем записать уравнение для длины диагонали DD1 с использованием значения A1D1:

\[BD1 = \sqrt{A1D1^2 - A1B^2}\]
\[BD1 = \sqrt{(7x)^2 - 1^2}\]
\[BD1 = \sqrt{49x^2 - 1}\]

Теперь, когда мы знаем длины диагоналей BB1 и DD1, мы можем найти синус угла ϕ между прямой AM и плоскостью, содержащей диагональ BB1 и DD1.

Синус угла ϕ можно найти как отношение длины противолежащего катета (A1M) к гипотенузе (MD1):

\[\sin(\phi) = \frac{A1M}{MD1}\]
\[\sin(\phi) = \frac{3x}{4x}\]
\[\sin(\phi) = \frac{3}{4}\]

Таким образом, синус угла ϕ между прямой AM и плоскостью, содержащей диагональ BB1 и DD1, равен \(\frac{3}{4}\).