Каков синус угла ϕ между прямой AM и плоскостью, содержащей диагональ BB1 и DD1, в кубе ABCDA1B1C1D1 с длиной ребра
Каков синус угла ϕ между прямой AM и плоскостью, содержащей диагональ BB1 и DD1, в кубе ABCDA1B1C1D1 с длиной ребра 1 единица измерения, где на ребре A1D1 отмечена точка M так, что A1M:MD1=3:4?
Валентин 49
Для начала, давайте разберемся, что такое синус угла. Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника. В данной задаче нам нужно найти синус угла между прямой AM и плоскостью, содержащей диагональ BB1 и DD1 в кубе ABCDA1B1C1D1.Для начала, найдем длину диагонали BB1 в кубе. Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABC, где AB - длина ребра куба, а AC и BC - диагонали грани. Так как ребро куба равно 1 единице измерения, мы можем записать:
Таким образом, длина диагонали BB1 равна
Теперь найдем длину диагонали DD1. Рассмотрим треугольник A1BD1. Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника A1BD1, где A1D1 - диагональ куба, а A1B и BD1 - диагонали граней. Так как длина ребра куба равна 1 единице измерения, мы можем записать:
Теперь нам нужно найти длину A1M и MD1. Дано, что A1M:MD1 = 3:4. Мы можем представить A1M и MD1 как 3x и 4x, соответственно. Тогда сумма длин A1M и MD1 будет равна длине A1D1:
Теперь мы можем записать уравнение для длины диагонали DD1 с использованием значения A1D1:
Теперь, когда мы знаем длины диагоналей BB1 и DD1, мы можем найти синус угла ϕ между прямой AM и плоскостью, содержащей диагональ BB1 и DD1.
Синус угла ϕ можно найти как отношение длины противолежащего катета (A1M) к гипотенузе (MD1):
Таким образом, синус угла ϕ между прямой AM и плоскостью, содержащей диагональ BB1 и DD1, равен