Каков синус угла между прямой, заданной параметрическими уравнениями x = 1 + 2t, y = 1 + 2t, z = 1 - t, и плоскостью

Зимний_Ветер_9104

42

Хорошо, давайте решим эту задачу по шагам.

1. В первую очередь, найдем направляющий вектор прямой. Для этого возьмем коэффициенты t при x, y, и z и составим вектор:

\[\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\].

2. Теперь найдем нормальный вектор плоскости. Для этого возьмем коэффициенты x, y и z в уравнении плоскости и составим вектор:

\[\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\].

3. Чтобы найти синус угла между прямой и плоскостью, воспользуемся формулой:

\[\sin \theta = \frac{\lVert \vec{v} \times \vec{n} \rVert}{\lVert \vec{v} \rVert \cdot \lVert \vec{n} \rVert}\].

где \(\vec{v} \times \vec{n}\) - это векторное произведение векторов \(\vec{v}\) и \(\vec{n}\),
а \(\lVert \vec{v} \rVert\) и \(\lVert \vec{n} \rVert\) - длины векторов \(\vec{v}\) и \(\vec{n}\) соответственно.

4. Найдем векторное произведение \(\vec{v} \times \vec{n}\):

\[\vec{v} \times \vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix}\].

Посчитав этот определитель, получим:

\[\vec{v} \times \vec{n} = \begin{pmatrix} -6 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}\].

5. Теперь найдем длины векторов \(\vec{v}\) и \(\vec{n}\):

\(\lVert \vec{v} \rVert = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9} = 3\).

\(\lVert \vec{n} \rVert = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3\).

6. Подставим полученные значения в формулу и рассчитаем синус угла:

\[\sin \theta = \frac{\lVert \vec{v} \times \vec{n} \rVert}{\lVert \vec{v} \rVert \cdot \lVert \vec{n} \rVert} = \frac{\sqrt{(-6)^2 + (-1)^2 + (-2)^2}}{3 \cdot 3} = \frac{\sqrt{41}}{9}\].

Таким образом, синус угла между прямой и плоскостью равен \(\frac{\sqrt{41}}{9}\).

Надеюсь, это решение понятно и полезно. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.