Каков способ определения ранга матрицы путем приведения ее к ступенчатому виду? Какой базисный минор нужно указать?

Yagnenok

59

Для определения ранга матрицы путем приведения ее к ступенчатому виду, мы должны выполнить ряд элементарных преобразований над матрицей до тех пор, пока не достигнем ступенчатого вида. Эти преобразования включают в себя:

1. Обмен двух строк.
2. Умножение строки на ненулевой скаляр.
3. Сложение строки с другой, умноженной на скаляр.

После приведения матрицы к ступенчатому виду, ранг матрицы будет равен количеству ненулевых строк в ступенчатой форме.

Теперь рассмотрим базисный минор. Базисный минор матрицы — это минор, полученный из исходной матрицы путем выбора некоторого набора строк и столбцов и удаления остальных. Для определения базисного минора, мы должны выбрать любой ненулевой минор верхнего левого угла ступенчатой матрицы (ненулевые строки и столбцы). Этот минор будет базисным минором и его размерность будет соответствовать рангу матрицы.

Например, рассмотрим следующую матрицу:

\[
A = \begin{bmatrix}
2 & 4 & 6 \\
1 & 3 & 5 \\
0 & 2 & 4 \\
\end{bmatrix}
\]

Давайте приведем ее к ступенчатому виду:

\[
\begin{align*}
&\begin{bmatrix}
2 & 4 & 6 \\
1 & 3 & 5 \\
0 & 2 & 4 \\
\end{bmatrix} \xrightarrow[R_2 = R_2 - \frac{1}{2}R_1]{R_3 = R_3 - \frac{1}{2}R_1}
\begin{bmatrix}
2 & 4 & 6 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 2 \\
\end{bmatrix} \xrightarrow[R_3 = R_3 - R_2]{R_2 = R_2}
\begin{bmatrix}
2 & 4 & 6 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
\end{align*}
\]

Матрица приведена к ступенчатому виду. Ненулевые строки, которые образуют ступенчатый вид, являются базисными строками. В данном случае, у нас есть две ненулевые строки, поэтому ранг матрицы равен 2. Таким образом, базисный минор для этой матрицы будет минором размерности 2, например, минор, образованный первыми двумя строками и первыми двуми столбцами:

\[
\begin{bmatrix}
2 & 4 \\
1 & 3 \\
\end{bmatrix}
\]

Этот минор будет базисным минором и его размерность будет соответствовать рангу матрицы.

Вот так можно определить ранг матрицы путем приведения ее к ступенчатому виду и указать базисный минор.