Масса случайно выбранного взрослого животного некоторого вида представляет собой величину с нормальным распределением
Масса случайно выбранного взрослого животного некоторого вида представляет собой величину с нормальным распределением со средним значением 100 кг и стандартным отклонением 8 кг. Необходимо найти вероятности следующих событий: а) животное имеет массу меньше 90 кг; б) животное имеет массу больше 110 кг; в) масса животного находится в интервале от 97 до.
Magicheskiy_Samuray 28
Для решения данной задачи нам понадобятся знания о нормальном распределении и его свойствах.Нормальное распределение величины X с заданным средним значением μ и стандартным отклонением σ обозначается как X ~ N(μ, σ^2).
Определимся с обозначениями:
X - случайная величина, представляющая собой массу выбранного животного.
μ - среднее значение массы животного, равное 100 кг.
σ - стандартное отклонение массы животного, равное 8 кг.
Теперь перейдем к конкретным вопросам:
а) Нам нужно найти вероятность того, что животное имеет массу меньше 90 кг. Обозначим это событие как P(X < 90).
Для нахождения этой вероятности используем стандартную нормальную функцию распределения (Z-таблицу) или стандартное математическое программное обеспечение, которое позволяет нам находить значения функции распределения.
В данном случае, мы можем стандартизировать нашу случайную величину X, преобразовав ее к стандартному нормальному распределению с параметрами N(0, 1).
Стандартизация формулой: Z = (X - μ) / σ.
В нашем случае: Z = (90 - 100) / 8 = -1.25.
Затем найдем значение функции распределения для полученной стандартизированной величины Z: P(Z < -1.25).
Обратившись к таблице или используя математическое программное обеспечение, мы можем найти, что P(Z < -1.25) примерно равно 0.1056.
Таким образом, вероятность того, что случайно выбранное животное имеет массу меньше 90 кг, составляет примерно 0.1056 или 10.56%.
б) Теперь мы должны найти вероятность того, что животное имеет массу больше 110 кг. Обозначим это событие как P(X > 110).
Аналогично предыдущему пункту, мы стандартизируем нашу случайную величину X: Z = (110 - 100) / 8 = 1.25.
Затем найдем значение функции распределения для полученной стандартизированной величины Z: P(Z > 1.25).
Снова обратимся к таблице или используем математическое программное обеспечение и найдем, что P(Z > 1.25) примерно равно 0.1056.
Таким образом, вероятность того, что случайно выбранное животное имеет массу больше 110 кг, также составляет примерно 0.1056 или 10.56%.
в) Для нахождения вероятности того, что масса животного находится в интервале от a до b, где a и b - заданные значения, используем формулу разности вероятностей:
P(a < X < b) = P(X < b) - P(X < a).
Для данного случая нам нужно найти вероятность того, что масса животного находится в интервале от 90 до 110 кг. Обозначим это событие как P(90 < X < 110).
Найдем значение функции распределения для каждого значения и применим формулу разности:
P(90 < X < 110) = P(X < 110) - P(X < 90).
Мы уже вычислили вероятность P(X < 90) как примерно 0.1056.
Теперь вычислим P(X < 110). Стандартизируем значение X: Z = (110 - 100) / 8 = 1.25.
Затем найдем значение функции распределения для Z: P(Z < 1.25). Обратившись к таблице или используя математическое программное обеспечение, мы можем найти, что P(Z < 1.25) примерно равно 0.8944.
Теперь рассчитаем P(90 < X < 110) используя формулу разности:
P(90 < X < 110) = 0.8944 - 0.1056
Имеем: P(90 < X < 110) примерно равно 0.7888 или 78.88%.
Таким образом, вероятность того, что масса случайно выбранного животного находится в интервале от 90 до 110 кг, составляет примерно 0.7888 или 78.88%.