Какова площадь квадрата ABCD на плоскости, если известно, что длины отрезков AO, OC равны 10, длина отрезка OD равна

Yak

41

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово. Мы знаем, что длины отрезков AO и OC равны 10, а длина отрезка OD равна \(6\sqrt{2}\). Нам нужно найти площадь квадрата ABCD, зная это.

Шаг 1: Найдем длину стороны AB. Поскольку ABCD - квадрат, все его стороны равны друг другу. Пусть сторона AB равна \(x\). Тогда сторона BC, CD и AD также равны \(x\).

Шаг 2: Нарисуем наш квадрат ABCD и отметим известные длины отрезков.

A ----------------------- B
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
D ----------------------- C

Шаг 3: Рассмотрим треугольник BOC. Мы знаем длины его сторон: OB = OC = 10 и BC = x. Применим теорему Пифагора, чтобы найти длину диагонали BO.

Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае гипотенуза - это BO, а катеты - OB и BC.

Используя теорему Пифагора в треугольнике BOC получим:
\[ BO^2 = OB^2 + BC^2 \]
\[ BO^2 = 10^2 + x^2 \]
\[ BO^2 = 100 + x^2 \]

Шаг 4: Рассмотрим треугольник AOD. Мы знаем длины его сторон: AO = DO = 10 и AD = x. Применим теорему Пифагора, чтобы найти длину диагонали AO.

Используя теорему Пифагора в треугольнике AOD получим:
\[ AO^2 = AD^2 + DO^2 \]
\[ 10^2 = x^2 + (6\sqrt{2})^2 \]
\[ 100 = x^2 + 72 \]
\[ x^2 = 28 \]

Шаг 5: Теперь мы можем найти значение x, нашей стороны AB. Из предыдущего шага мы знаем, что \(x^2 = 28\), поэтому x = \(\sqrt{28}\) или -\(\sqrt{28}\). Мы можем игнорировать отрицательное значение, поэтому x = \(\sqrt{28}\).

Шаг 6: Теперь, чтобы найти площадь квадрата ABCD, мы просто возводим значение стороны AB в квадрат:
\[ Площадь = (AB)^2 = (\sqrt{28})^2 = 28 \]

Ответ: Площадь квадрата ABCD равна 28 квадратных единиц.