Каков угол a треугольника, вершинами которого являются точки (1, 0, 1), (-5, 4, 3) и (0, 3, -1)?

Летающий_Космонавт

58

Чтобы найти угол а треугольника, нам нужно использовать формулу косинуса для нахождения косинуса данного угла.
Формула косинуса в трехмерном пространстве выглядит следующим образом:

\[cos(a) = \frac{{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}}}{{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}|}}\]

где \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\) - вектора сторон треугольника.

Давайте начнем с нахождения векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\).
Вектор \(\overrightarrow{AB}\) можно найти, вычислив разность координат точек B и A:

\[\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (-5 - 1, 4 - 0, 3 - 1) = (-6, 4, 2)\]

Аналогично, вектор \(\overrightarrow{BC}\) можно найти, вычислив разность координат точек C и B:

\[\overrightarrow{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B, z_C - z_B) = (0 - (-5), 3 - 4, (-1) - 3) = (5, -1, -4)\]

Теперь, чтобы найти косинус угла a, нам нужно вычислить скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\):

\[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (-6 \cdot 5) + (4 \cdot -1) + (2 \cdot -4) = -30 - 4 - 8 = -42\]

Также, нам нужно найти длины векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\):

\[|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-6)^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 16 + 4} = \sqrt{56} \approx 7.483\]

\[|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 1 + 16} = \sqrt{42} \approx 6.481\]

Теперь мы можем подставить значения в формулу косинуса и решить её:

\[cos(a) = \frac{{-42}}{{7.483 \cdot 6.481}} \approx -0.926\]

Для нахождения угла a, нам нужно найти обратный косинус (-0.926). Возьмем обратный косинус и переведем его в градусы:

\[a \approx \arccos(-0.926) \approx 160.86^\circ\]

Таким образом, угол а треугольника, заданного точками (1, 0, 1), (-5, 4, 3) и (0, 3, -1), примерно равен 160.86 градусов.