Каков угол, который образует боковая грань с плоскостью основания правильной четырехугольной пирамиды, если высота

Ян

47

Чтобы найти угол, образуемый боковой гранью с плоскостью основания правильной четырехугольной пирамиды, нам потребуется некоторое пространственное представление.

Давайте представим, что у нас есть правильная четырехугольная пирамида и плоскость, проходящая через сторону основания и высоту пирамиды. Поскольку эта пирамида является правильной, все ее боковые грани равны и равномерно расположены вокруг вершины.

Теперь, когда у нас есть представление, давайте решим задачу. Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду:

Отрезок, соединяющий центр основания пирамиды с ее вершиной, является высотой пирамиды.

Нам дано, что высота пирамиды равна 9 корень 3 см. Высота перпендикулярна плоскости основания и боковым граням пирамиды. Поэтому, отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, также является радиусом основания.

Радиус основания пирамиды равен половине стороны основания. Мы знаем, что сторона основания равна 18 см, поэтому радиус будет равен 9 см.

Теперь мы можем построить треугольник, включающий высоту пирамиды, радиус основания и боковую грань пирамиды.

У нас есть прямоугольный треугольник, в котором один катет равен половине стороны основания (9 см), а другой катет равен высоте (9 корень 3 см).

Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины гипотенузы, которая в данном случае будет являться боковой гранью пирамиды.

\[
\text{Гипотенуза}^2 = \text{Катет1}^2 + \text{Катет2}^2
\]

Подставим известные значения:

\[
\text{Боковая грань}^2 = (9)^2 + (9\sqrt{3})^2
\]

\[
\text{Боковая грань}^2 = 81 + 243
\]

\[
\text{Боковая грань}^2 = 324
\]

Извлекая квадратный корень, получим:

\[
\text{Боковая грань} = 18
\]

Теперь у нас есть длина боковой грани пирамиды, и мы можем найти угол между боковой гранью и плоскостью основания.

В правильной четырехугольной пирамиде все боковые грани равны и равномерно расположены вокруг вершины, поэтому углы между боковой гранью и плоскостью основания будут равны между собой.

Так как сумма углов в каждой плоскости равна 180 градусов, а пирамида имеет четыре боковые грани, то угол, который образует боковая грань с плоскостью основания, равен:

\[
\frac{{360^\circ}}{{4}} = 90^\circ
\]

Таким образом, угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 90 градусов.