Каков угол между диагональю куба и плоскостью основания, если его ребро составляет 4 м? Выберите верный ответ

Вечный_Мороз

52

Для решения этой задачи нам понадобится геометрическое представление куба. Представим себе куб, у которого все стороны равны 4 м. Давайте нарисуем его схему, чтобы понять ситуацию лучше:

                    C - - - - - D

                   /|         /|

                  / |        / |

                 /  |       /  |

                /   |      /   |

               /    |     /    |

              A - - - - - B    |

              |    |    |     |

              |    H - - - - - G

              |   /     |    /

              |  /      |   /

              | /       |  /

              |/        | /

              F - - - - E

В нашем кубе ACDE - основание, а BHGF - верхняя грань. Плоскость основания проходит через вершины A, C, D и E, а диагональ куба - это отрезок BF.

Угол между диагональю и плоскостью основания можно найти, используя геометрические свойства. Для этого мы можем воспользоваться теоремой, утверждающей, что диагональ куба, выпущенная из вершины куба, делит прилежащие ей ребра пополам.

Таким образом, если ребро куба составляет 4 метра, то диагональ куба BF будет равна \(\sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\) метра. Теперь у нас есть два катета прямоугольного треугольника: ребро куба AC и диагональ куба BF.

Чтобы найти угол между этими двумя сторонами, мы можем использовать тригонометрический союз \(\tan\) для прямоугольного треугольника, где катетами являются ребро куба и диагональ.

\(\tan(\theta) = \frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{противолежащий катет}}}} = \frac{{AC}}{{BF}}\)

Подставляя значения, мы получаем:

\(\tan(\theta) = \frac{{4}}{{4\sqrt{2}}} = \frac{{1}}{{\sqrt{2}}}\)

Теперь нам нужно найти угол \(\theta\) с помощью обратной тригонометрической функции arctan (обозначается как \(\arctan\)). Производя вычисления, мы получаем:

\(\theta = \arctan(\frac{{1}}{{\sqrt{2}}}) \approx 35.26 \degree\)

Таким образом, угол между диагональю куба и плоскостью основания примерно равен 35.26 градусов.

Варианты ответа, которые вы предложили:

- 30 градусов - неверно,
- \(\text{arcctg}2\sqrt{2}\) - неверно,
- \(\arcsin3\sqrt{3}\) - неверно,
- 60 градусов - неверно,
- 45 градусов - близко, но всё же неверно.

Таким образом, правильный ответ - нет варианта среди предложенных. Угол между диагональю куба и плоскостью основания составляет примерно 35.26 градусов.