Каков угол между векторами а(7;2;1) и б(1;1;0)?

Sokol

28

Для нахождения угла между векторами a(7;2;1) и b(1;1;0) мы можем использовать формулу скалярного произведения векторов и свойства этого произведения.

Скалярное произведение векторов определяется как произведение длин векторов на косинус угла между ними.

Формула для вычисления скалярного произведения двух векторов a и b имеет вид:

\[a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos(\theta)\]

где |a| и |b| - длины векторов a и b соответственно, и \(\theta\) - угол между векторами a и b.

Давайте приступим к решению:

1. Вычислим длины этих векторов:

Длина вектора a вычисляется по формуле:

\[|a| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\]

Подставим значения координат вектора a:

\[|a| = \sqrt{7^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 4 + 1} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}\]

Длина вектора b вычисляется аналогично:

\[|b| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}\]

2. Вычислим скалярное произведение векторов:

\[a \cdot b = 7 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 7 + 2 + 0 = 9\]

3. Теперь найдем угол между векторами:

Подставим полученные значения в формулу:

\[9 = 3\sqrt{6} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(\theta)\]

4. Найдем косинус угла \(\theta\):

\[\cos(\theta) = \frac{9}{3\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{6}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

5. Найдем сам угол \(\theta\):

Так как косинус является функцией, обратной косинусу, получим:

\[\theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\]

Используя таблицу значений или калькулятор, находим:

\[\theta \approx 30^\circ\]

Таким образом, угол между векторами a(7;2;1) и b(1;1;0) составляет около 30 градусов.