What is the value of 2 times the arcsin of 1 minus 3 times the arccos of 0 plus 4 times the arctan of -√3/3 plus

Загадочный_Магнат_5905

34

Для решения данной задачи, нам понадобится знание обратных тригонометрических функций и их свойств.

Давайте рассмотрим каждое слагаемое по отдельности.

1) Начнем с первого слагаемого: \(\arcsin(1)\). Обратная функция синуса, \(\arcsin(x)\), определяет угол, чей синус равен \(x\). Так как синус угла не может быть больше 1, \(\arcsin(1)\) равен 90 градусам или \(\frac{\pi}{2}\) радиан.

2) Теперь рассмотрим второе слагаемое: \(-3\arccos(0)\). Арккосинус \(\arccos(x)\) определяет угол, чей косинус равен \(x\). Косинус 0 равен 1, поэтому \(\arccos(0) = 90\) градусов или \(\frac{\pi}{2}\) радиан. Умножая это на -3, получим -270 градусов или \(-\frac{3\pi}{2}\) радиан.

3) Третье слагаемое: \(4\arctan\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\). Арктангенс \(\arctan(x)\) определяет угол, чей тангенс равен \(x\). Тангенс \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\) равен \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\), поэтому \(\arctan\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\) равен -30 градусам или \(-\frac{\pi}{6}\) радиан (поскольку это угол в третьем квадранте).

4) И наконец, четвертое слагаемое: \(2\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\). Используя свойства арккосинуса, мы знаем, что \(\arccos(x)\) равен углу, чей косинус равен \(x\). Косинус \(-\frac{1}{2}\) равен 60 градусов или \(\frac{\pi}{3}\) радиан. Мы должны учесть, что это угол во втором квадранте, поэтому его знак будет отрицательным. Получим \(-2\frac{\pi}{3}\) радиан.

Теперь, объединим все слагаемые и вычислим их сумму:

\(2\cdot \arcsin(1) - 3\cdot \arccos(0) + 4\cdot \arctan\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + 2\cdot \arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\)
\(= 2\cdot \frac{\pi}{2} - 3\cdot \frac{3\pi}{2} + 4\cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right) + 2\cdot \left(-\frac{2\pi}{3}\right)\)
\(= \pi - \frac{9\pi}{2} - \frac{2\pi}{3} - \frac{4\pi}{3}\)
\(= \pi - \frac{15\pi}{2}\)

Итак, значение выражения \(2\cdot \arcsin(1) - 3\cdot \arccos(0) + 4\cdot \arctan\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + 2\cdot \arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\) равно \(\pi - \frac{15\pi}{2}\) или \(-\frac{13\pi}{2}\) (в радианах).