Каков угол между векторами а и b, если длина вектора а равна 2, а длина вектора b равна √3? Какое значение имеет

Снежинка

40

Для начала, нам необходимо найти значениe угла между векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\). Для этого воспользуемся формулой для скалярного произведения двух векторов:

\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \lVert\mathbf{a}\rVert \cdot \lVert\mathbf{b}\rVert \cdot \cos(\theta)
\]

где \(\lVert\mathbf{a}\rVert\) и \(\lVert\mathbf{b}\rVert\) обозначают длины векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\), а \(\theta\) - искомый угол между векторами.

Известно, что длина вектора \(\mathbf{a}\) равна 2, а длина вектора \(\mathbf{b}\) равна \(\sqrt{3}\). Подставим эти значения в формулу:

\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(\theta)
\]

Теперь нам нужно найти значение скалярного произведения векторов \(\mathbf{m}=2\mathbf{a}-3\mathbf{b}\) и \(\mathbf{n}=\mathbf{a}+2\mathbf{b}\). Для этого умножим каждый компонент одного вектора на соответствующий компонент другого вектора и сложим получившиеся произведения:

\[
\mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = (2\mathbf{a}-3\mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a}+2\mathbf{b})
\]

Распишем это скалярное произведение:

\[
\mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 2\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + 2\mathbf{a} \cdot 2\mathbf{b} - 3\mathbf{b} \cdot \mathbf{a} - 3\mathbf{b} \cdot 2\mathbf{b}
\]

Выполним вычисления:

\[
\mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 2\lVert \mathbf{a} \rVert^2 + 4 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} - 3\mathbf{b} \cdot \mathbf{a} - 3 \lVert \mathbf{b} \rVert^2
\]

Теперь мы имеем два уравнения, их значения мы можем вычислить. Обозначим скалярное произведение векторов \(\mathbf{m}\) и \(\mathbf{n}\) через \(S\):

\[
\mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = S
\]

\[
2\lVert \mathbf{a} \rVert^2 + 4 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} - 3\mathbf{b} \cdot \mathbf{a} - 3 \lVert \mathbf{b} \rVert^2 = S
\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно угла \(\theta\). Подставим значение скалярного произведения \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\):

\[
2 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(\theta) = S
\]

Отсюда получаем:

\[
\cos(\theta) = \frac{S}{2 \cdot \sqrt{3}}
\]

Теперь возьмем арккосинус от обеих сторон уравнения, чтобы найти значение угла \(\theta\):

\[
\theta = \arccos\left(\frac{S}{2 \cdot \sqrt{3}}\right)
\]

Наконец, нам остается только подставить значение скалярного произведения \(S\) и решить уравнение.