Каков угол при основании равнобедренной трапеции, если диагональ этой трапеции равна 4 см и перпендикулярна одной

Ledyanaya_Pustosh_3982

4

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойствами равнобедренной трапеции.

Пусть \(ABCD\) - наша равнобедренная трапеция, в которой \(AB\) и \(CD\) являются основаниями, а \(AD\) и \(BC\) - боковыми сторонами. Пусть также диагональ \(AC\) перпендикулярна к стороне \(AD\).

Так как \(ABCD\) - равнобедренная трапеция, то стороны \(AB\) и \(CD\) равны между собой: \(AB = CD\).

Диагональ \(BD\) разбивает равнобедренную трапецию \(ABCD\) на два равнобедренных треугольника: \(\triangle ABD\) и \(\triangle BCD\).

A ------ B
/ \
/ \
D ------------ C

В треугольнике \(\triangle BCD\) сторона \(BC\) является основанием, а сторона \(BD\) - боковой стороной. Так как треугольник \(\triangle BCD\) равнобедренный, то угол между сторонами \(BD\) и \(BC\) равен углу между сторонами \(BD\) и \(CD\) в общей равнобедренной трапеции \(ABCD\). Обозначим этот угол как \(x\).

Так как диагональ \(AC\) перпендикулярна стороне \(AD\), то треугольник \(\triangle BCA\) является прямоугольным. Пусть диагональ \(AC\) равна \(4\) см.

Мы знаем, что \(BC = AB\), \(BD = AB\) и \(AC = 4\) см. Поэтому, в прямоугольном треугольнике \(\triangle BCA\), по теореме Пифагора, мы можем записать:
\[AB^2 = AC^2 - BC^2\]
\[AB^2 = 4^2 - AB^2\]
\[AB^2 + AB^2 = 16\]
\[2 \cdot AB^2 = 16\]
\[AB^2 = 8\]
\[AB = \sqrt{8}\]
\[AB = 2\sqrt{2}\]

Таким образом, мы нашли, что сторона \(AB\) равна \(2\sqrt{2}\) см. Так как \(AB = CD\), то и сторона \(CD\) тоже равна \(2\sqrt{2}\) см.

Возвращаясь к треугольнику \(\triangle BCD\), мы знаем, что один из его углов (угол между сторонами \(BD\) и \(BC\)) равен углу \(x\). Также, углы треугольника \(BCD\) в сумме дают \(180^{\circ}\). Поэтому, мы можем выразить угол \(x\) следующим образом:
\[2x + 180^{\circ} = 180^{\circ}\]
\[2x = 0^{\circ}\]
\[x = 0^{\circ}\]

Таким образом, мы получили, что угол при основании равнобедренной трапеции равен \(0^{\circ}\). Такой угол является вырожденным углом.

Для нахождения площади равнобедренной трапеции нам необходимо знать ее высоту (расстояние между основаниями \(AB\) и \(CD\)). Заметим, что высота равнобедренной трапеции - это отрезок, проведенный из вершины \(B\) до прямой \(AD\), перпендикулярной к основаниям.

Так как сторона \(AB = CD = 2\sqrt{2}\) см и диагональ \(AC = 4\) см, то прямоугольный треугольник \(\triangle BCA\) является \(45-45-90\) треугольником. В таком треугольнике, сторона, расположенная напротив угла в \(45^{\circ}\), равна половине гипотенузы. Поэтому, мы можем выразить высоту равнобедренной трапеции следующим образом:
\[h = \frac{AB}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\]

Теперь, зная основания \(AB\) и \(CD\) равнобедренной трапеции и ее высоту \(h\), мы можем найти площадь равнобедренной трапеции по формуле:
\[S = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2}\]
\[S = \frac{(2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}}{2}\]
\[S = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2}\]
\[S = \frac{8}{2} = 4 \, \text{см}^2\]

Таким образом, угол при основании равнобедренной трапеции равен \(0^{\circ}\), а площадь равнобедренной трапеции равна \(4 \, \text{см}^2\).