1. Свойства и особенности вычисления арифметического корня в натуральных степенях. 2. Решите следующие уравнения

Волшебный_Лепрекон

54

1. Свойства и особенности вычисления арифметического корня в натуральных степенях:

Арифметический корень из числа — это такое число, возведение которого в степень даёт исходное число. Обозначается символом \(\sqrt{}\phi\), где \(\phi\) - число, из которого извлекаем корень.

Основные свойства арифметического корня в натуральных степенях:
- \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) - корень из произведения двух чисел равен произведению корней из этих чисел.
- \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) - корень из частного двух чисел равен отношению корней от этих чисел.

Особенности вычисления арифметического корня в натуральных степенях:
- \(\sqrt{\phi^m} = \phi^{\frac{m}{2}}\) - корень из числа, возведенного в степень, равен числу, возведенному в половину этой степени.
- Если число не имеет точного корня, то мы можем приближенно вычислить его значение с нужной точностью, используя методы численного анализа, например, метод Ньютона.

2. Решение уравнений:

а) \[x^2 - 4 = 0\]
Для решения этого уравнения применим формулу квадратного корня: \(x = \pm \sqrt{4}\).
Таким образом, корни уравнения равны \(x = -2\) и \(x = 2\).

в) \[3x^2 + 12x + 12 = 0\]
Для решения этого уравнения воспользуемся квадратным трёхчленом. Сначала домножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от коэффициента при \(x^2\): \(9x^2 + 36x + 36 = 0\).
Теперь применим формулу квадратного корня: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \(D\) - дискриминант уравнения, равный \(D = b^2 - 4ac\).
Вычислим дискриминант: \(D = 36^2 - 4 \cdot 9 \cdot 36 = 1296 - 1296 = 0\).
Так как дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень: \(x = \frac{-36}{18} = -2\).

б) \(2x^2 + 7x - 15 = 0\)
Для решения этого уравнения можно воспользоваться факторизацией или квадратным трёхчленом.
Применим квадратный трёхчлен: \(2x^2 + 7x - 15 = 0\).
Найдем дискриминант: \(D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 49 + 120 = 169\).
Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня.
Применяя формулу для нахождения корней, получим: \(x_1 = \frac{-7 + \sqrt{169}}{4} = \frac{-7 + 13}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\) и
\(x_2 = \frac{-7 - \sqrt{169}}{4} = \frac{-7 - 13}{4} = \frac{-20}{4} = -5\).

г) \[5x^2 + 2x + 1 = 0\]
Для решения данного уравнения применим квадратный трёхчлен: \(5x^2 + 2x + 1 = 0\).
Вычислим дискриминант: \(D = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 4 - 20 = -16\).
Так как дискриминант меньше нуля, уравнение имеет комплексные корни.
Применяя формулу для нахождения корней, получим: \(x_1 = \frac{-2 + i\sqrt{16}}{10} = \frac{-2 + 4i}{10} = -\frac{1}{5} + \frac{2}{5}i\) и
\(x_2 = \frac{-2 - i\sqrt{16}}{10} = \frac{-2 - 4i}{10} = -\frac{1}{5} - \frac{2}{5}i\).

3. Упрощение выражений:

а) \(5 + 2 \cdot (3 + 4) - 7\)
Выполним операции в скобках: \(5 + 2 \cdot 7 - 7\).
Затем умножим и сложим: \(5 + 14 - 7 = 19 - 7 = 12\).
Таким образом, упростив выражение, получим: \(12\).

б) \(2 \cdot (3x + 4y) + 5x - 7y\)
Распространим умножение: \(6x + 8y + 5x - 7y\).
Сложим схожие члены: \(6x + 5x + 8y - 7y = 11x + y\).
Таким образом, упростив выражение, получим: \(11x + y\).

в) \((2 + 3) \cdot (4 - 1) - (5 + 2) \cdot 3\)
Выполним операции в скобках: \(5 \cdot 3 - 7 \cdot 3\).
Затем умножим и вычтем: \(15 - 21 = -6\).
Таким образом, упростив выражение, получим: \(-6\).

4. Нахождение множителей выражения:

Для нахождения множителей данного выражения, нужно разложить его на простейшие множители.
Например, если дано выражение \(6x^2 + 12x\), то можно вынести общий множитель: \(6x(x + 2)\).
В этом случае, множители данного выражения - это \(6x\) и \(x + 2\).

5. Приведение дроби к наименьшему общему знаменателю:

Для приведения данной дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно найти такое число, которое было бы кратно знаменателям всех дробей в выражении.

Например, для дробеи \( \frac{1}{2} - \frac{3}{4}\) наименьшим общим знаменателем будет 4, так как он кратен и 2, и 4. В таком случае, дроби можно привести к общему знаменателю и выполнить операцию вычитания:
\(\frac{1}{2} - \frac{3}{4} = \frac{2}{4} - \frac{3}{4} = \frac{-1}{4}\).

Дополнительная часть 1. Сравнение чисел a и b, при условии:

В этой задаче требуется сравнить два числа a и b. Решение зависит от конкретных значений чисел a и b. Пожалуйста, укажите значения a и b, и я смогу выполнить сравнение и дать ответ.

2. Упрощение указанного выражения:

Для упрощения указанного выражения, пожалуйста, укажите само выражение, и я смогу его привести к более простой форме. Пока я не могу дать ответ без конкретной информации.