Каков угол в градусах между вектором а = 2ti + t2j и осью Ох в момент времени

Павел

63

Для начала нам понадобится разложить вектор а на его компоненты. Учитывая, что у нас есть координаты вектора а, \(a_x = 2t\) и \(a_y = t^2\), мы можем выразить его в виде:

\[а = 2t\mathbf{i} + t^2\mathbf{j}\]

Также нам известно, что ось Ох - это вектор, который направлен в положительном направлении оси абсцисс, и имеет координаты: \(Ох = 1\mathbf{i} + 0\mathbf{j}\)

Чтобы найти угол между вектором а и осью Ох, мы можем использовать следующую формулу:

\[\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{a} \cdot \mathbf{Ох}}}{{|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{Ох}|}}\]

где \(\theta\) - искомый угол, \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{Ох}\) - скалярное произведение векторов а и Ох, \(|\mathbf{a}|\) - длина вектора а, \(|\mathbf{Ох}|\) - длина вектора Ох.

Поскольку вектор Ох имеет длину равную 1, нам не нужно его учитывать при расчете угла. Таким образом, мы можем упростить формулу до:

\[\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{a} \cdot \mathbf{Ох}}}{{|\mathbf{a}|}}\]

Давайте теперь распишем скалярное произведение векторов а и Ох:

\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{Ох} = (2t\mathbf{i} + t^2\mathbf{j}) \cdot (1\mathbf{i} + 0\mathbf{j})\)

Раскрыв скобки и учитывая, что произведение единичных векторов дает единичный вектор, получим:

\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{Ох} = 2t \cdot 1 + t^2 \cdot 0\)

Сократив, получим:

\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{Ох} = 2t\)

Теперь найдем длину вектора а:

\(|\mathbf{a}| = \sqrt{(2t)^2 + (t^2)^2} = \sqrt{4t^2 + t^4} = \sqrt{t^4 + 4t^2}\)

Таким образом, наша формула для нахождения угла преобразуется в:

\[\cos(\theta) = \frac{{2t}}{{\sqrt{t^4 + 4t^2}}}\]

Найдя значение \(\cos(\theta)\), можем получить значение угла \(\theta\) с помощью обратной функции косинуса.