Каков упрощенный вид выражения ((b^-1 + 8)/(b^-2 - 14b^-1 + 49)) / ((b^-2 - 64)/(7b^-1 - 49)) - 7/(b^-1)?

Космос_6410

59

Хорошо, давайте пошагово решим эту задачу. Для начала, давайте приведем выражение к общему знаменателю.

1. Начнем с приведения второго дробного слагаемого к общему знаменателю. Заметим, что \(b^{-1}\) в знаменателе дроби может быть записано как \(1/b\), поскольку отрицательный показатель степени в знаменателе приводит к взятию обратного значения.

Это дает нам следующее выражение:

\(\frac{b^{-2} - 64}{7b^{-1} - 49} = \frac{b^{-2} - 64}{\frac{7}{b} - 49}\)

2. Теперь приведем первое дробное слагаемое к общему знаменателю. Здесь мы можем использовать тот же прием, что и раньше для \(b^{-1}\), чтобы записать его как \(1/b\).

Получаем:

\(\frac{b^{-1} + 8}{b^{-2} - 14b^{-1} + 49} = \frac{\frac{1}{b} + 8}{b^{-2} - 14\cdot\frac{1}{b} + 49}\)

3. Теперь, когда оба дробных слагаемых имеют общий знаменатель, можно выполнить деление.

\(\frac{\frac{b^{-1} + 8}{b^{-2} - 14b^{-1} + 49}}{\frac{b^{-2} - 64}{\frac{7}{b} - 49}} - \frac{7}{b^{-1}}\)

\(=\frac{\frac{1}{b} + 8}{b^{-2} - 14\cdot\frac{1}{b} + 49} \cdot \frac{\frac{7}{b} - 49}{b^{-2} - 64} - \frac{7}{b^{-1}}\)

4. Для удобства расчетов, давайте упростим \(b^2\) в знаменателе на \(b^{-2}\):

\(=\frac{\frac{1}{b} + 8}{1 - 14b + 49b^2} \cdot \frac{\frac{7}{b} - 49}{1 - 64b^2} - \frac{7}{b^{-1}}\)

\(=\frac{\frac{1}{b} + 8}{1 - 14b + 49b^2} \cdot \frac{7 - 49b}{1 - 64b^2} - \frac{7}{b^{-1}}\)

5. Теперь давайте упростим сложение в первом слагаемом:

\(=\frac{\frac{1}{b} + 8}{1 - 14b + 49b^2} \cdot \frac{7 - 49b}{1 - 64b^2} - \frac{7}{b^{-1}}\)

\(=\frac{\frac{1}{b} + \frac{8b}{b}}{1 - 14b + 49b^2} \cdot \frac{7 - 49b}{1 - 64b^2} - \frac{7}{b^{-1}}\)

\(=\frac{\frac{1 + 8b}{b}}{1 - 14b + 49b^2} \cdot \frac{7 - 49b}{1 - 64b^2} - \frac{7}{b^{-1}}\)

6. Теперь раскроем скобки в числителях и знаменателях:

\(=\frac{\frac{1 + 8b}{b}}{(1 - 7b)^2} \cdot \frac{7 - 49b}{(1 - 8b)(1 + 8b)} - \frac{7}{b^{-1}}\)

7. Заметим, что \((1 - 8b)(1 + 8b)\) в знаменателе первого слагаемого сокращается с \(1 + 8b\) в числителе второго слагаемого, и \((1 - 7b)^2\) сокращается с \(7 - 49b\) в числителе первого слагаемого.

\(=\frac{1 + 8b}{b(1 - 8b)} \cdot \frac{1}{1 - 8b} - \frac{7}{b^{-1}}\)

\(=\frac{(1 + 8b) \cdot 1}{b \cdot (1 - 8b) \cdot (1 - 8b)} - 7b\)

8. Теперь давайте умножим числитель первого слагаемого:

\(=\frac{1 + 8b}{b - 8b^2} - 7b\)

9. Для того чтобы вычесть слагаемое \(\frac{7}{b^{-1}}\), умножим числитель и знаменатель на \(b\), чтобы обратить внимание на отрицательный показатель степени:

\(=\frac{1 + 8b}{b - 8b^2} - 7b \cdot \frac{b}{b}\)

\(=\frac{1 + 8b}{b - 8b^2} - \frac{7b^2}{b}\)

10. Теперь у нас есть два слагаемых с общим знаменателем. Вычитаем их:

\(=\frac{1 + 8b - 7b^2}{b - 8b^2}\)

11. Вот ответ на задачу: \(\frac{1 + 8b - 7b^2}{b - 8b^2}\)

Таким образом, упрощенный вид данного выражения равен \(\frac{1 + 8b - 7b^2}{b - 8b^2}\).