Каков вид графика функции y=-x²+6x-5 и какие интервалы монотонности имеются?

Lelya

43

Чтобы определить вид графика функции $y=-x^2+6x-5$ и интервалы монотонности, нам нужно проанализировать основные характеристики этой функции.

1. Вначале разберемся с видом графика функции. Заметим, что уравнение данной функции является квадратным уравнением вида $y=a{x}^2+bx+c$, где $a=-1$, $b=6$ и $c=-5$. Таким образом, мы имеем параболу ветвями вниз (так как $a<0$).

2. Чтобы найти вершину параболы, воспользуемся формулой $x=-\frac{b}{2a}$. В нашем случае: $x=-\frac{6}{2(-1)}=-\frac{6}{-2}=3$. Затем подставим найденное значение $x$ в уравнение функции: $y=-(3{)}^2+6(3)-5=-9+18-5=4$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(3,4)$.

3. Для определения интервалов монотонности нам понадобится узнать, в каких точках график функции пересекает ось $x$. Чтобы найти эти точки, решим уравнение $y=0$:
$-x^2+6x-5=0$. Мы можем решить это уравнение, используя разложение по формуле: $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. В нашем случае: $x=\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4(-1)(-5)}}{2(-1)}$.
Раскрывая скобки и упрощая, получаем: $x=\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{-2}=\frac{-6\pm \sqrt{16}}{-2}=\frac{-6\pm 4}{-2}$.
Таким образом, получим две точки пересечения с осью $x$: $x_1=-1$ и $x_2=5$.

4. Теперь мы можем построить график функции. Вершина параболы находится в точке $(3,4)$, и график будет иметь вид параболы ветвями вниз, проходящей через точки $(-1,0)$ и $(5,0)$.

5. Чтобы определить интервалы монотонности, нам надо определить, когда функция возрастает и когда убывает. Так как у нас парабола ветвями вниз, функция будет убывать на интервале между точками пересечения с осью $x$, то есть на интервале $(-1,5)$. Функция будет возрастать за пределами этого интервала.

В итоге, вид графика функции $y=-x^2+6x-5$ - это парабола ветвями вниз, проходящая через точки $(-1,0)$, $(3,4)$ и $(5,0)$. Интервалы монотонности: функция убывает на интервале $(-1,5)$ и возрастает за пределами этого интервала.