Каков вид графика функции y=-x²+6x-5 и какие интервалы монотонности имеются?

Lelya

43

Чтобы определить вид графика функции \(y = -x^2 + 6x - 5\) и интервалы монотонности, нам нужно проанализировать основные характеристики этой функции.

1. Вначале разберемся с видом графика функции. Заметим, что уравнение данной функции является квадратным уравнением вида \(y = ax^2 + bx + c\), где \(a = -1\), \(b = 6\) и \(c = -5\). Таким образом, мы имеем параболу ветвями вниз (так как \(a < 0\)).

2. Чтобы найти вершину параболы, воспользуемся формулой \(x = -\frac{b}{2a}\). В нашем случае: \(x = -\frac{6}{2(-1)} = -\frac{6}{-2} = 3\). Затем подставим найденное значение \(x\) в уравнение функции: \(y = -(3)^2 + 6(3) - 5 = -9 + 18 - 5 = 4\). Таким образом, вершина параболы находится в точке \((3, 4)\).

3. Для определения интервалов монотонности нам понадобится узнать, в каких точках график функции пересекает ось \(x\). Чтобы найти эти точки, решим уравнение \(y = 0\):
\(-x^2 + 6x - 5 = 0\). Мы можем решить это уравнение, используя разложение по формуле: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\). В нашем случае: \(x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(-1)(-5)}}{2(-1)}\).
Раскрывая скобки и упрощая, получаем: \(x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 20}}{-2} = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{-2} = \frac{-6 \pm 4}{-2}\).
Таким образом, получим две точки пересечения с осью \(x\): \(x_1 = -1\) и \(x_2 = 5\).

4. Теперь мы можем построить график функции. Вершина параболы находится в точке \((3, 4)\), и график будет иметь вид параболы ветвями вниз, проходящей через точки \((-1, 0)\) и \((5, 0)\).

5. Чтобы определить интервалы монотонности, нам надо определить, когда функция возрастает и когда убывает. Так как у нас парабола ветвями вниз, функция будет убывать на интервале между точками пересечения с осью \(x\), то есть на интервале \((-1, 5)\). Функция будет возрастать за пределами этого интервала.

В итоге, вид графика функции \(y = -x^2 + 6x - 5\) - это парабола ветвями вниз, проходящая через точки \((-1, 0)\), \((3, 4)\) и \((5, 0)\). Интервалы монотонности: функция убывает на интервале \((-1, 5)\) и возрастает за пределами этого интервала.