Каков закон распределения случайной величины Х, которая равна числу извлеченных альчиков красного цвета из мешочка

Volk

53

Закон распределения случайной величины Х, которая равна числу извлеченных альчиков красного цвета из мешочка с 4 красными альчиками и 6 неокрашенными, называется гипергеометрическим распределением.

Для того чтобы понять закон распределения данной случайной величины, важно знать следующие величины:

N - общее количество объектов в мешочке (в данном случае 4 красных альчика + 6 неокрашенных = 10).
K - количество "успешных" объектов (в данном случае красных альчиков = 4).
n - количество попыток (извлечений).
x - количество "успешных" объектов после n попыток (количество извлеченных красных альчиков).

Таким образом, гипергеометрическое распределение для данной задачи будет выглядеть следующим образом:

\[ P(X = x) = \frac{\binom{K}{x} \cdot \binom{N-K}{n-x}}{\binom{N}{n}} \]

где \(\binom{a}{b}\) - это биномиальный коэффициент, равный числу способов выбрать b элементов из a.

Теперь давайте решим задачу пошагово. Предположим, что мы хотим узнать вероятность того, что при трех попытках (n=3) мы извлечем два красных альчика (x=2).

Сначала мы рассчитаем значения биномиальных коэффициентов:

\(\binom{K}{x} = \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6\)

\(\binom{N-K}{n-x} = \binom{10-4}{3-2} = \binom{6}{1} = \frac{6!}{1!(6-1)!} = 6\)

\(\binom{N}{n} = \binom{10}{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120\)

Теперь мы можем вычислить вероятность \(P(X = x)\):

\[ P(X = 2) = \frac{\binom{4}{2} \cdot \binom{6}{1}}{\binom{10}{3}} = \frac{6 \cdot 6}{120} = \frac{36}{120} = \frac{3}{10} = 0.3 \]

Таким образом, при трех попытках извлечения из мешочка, вероятность извлечения двух красных альчиков составляет 0.3 или 30%.

Гипергеометрическое распределение позволяет нам определить вероятность каждого возможного количества красных альчиков, которые могут быть извлечены из мешочка при определенном количестве попыток.