Каков закон распределения случайной величины в арифметической прогрессии из четырёх членов, где первый и четвёртый

Suslik

5

Давайте рассмотрим эту задачу более подробно.

Мы имеем арифметическую прогрессию из четырех членов, где первый и четвертый члены равны 8 и 12 соответственно. Пусть третий член прогрессии будет обозначен как \(x\).

Нам также дано, что вероятность средних членов в четыре раза больше вероятностей крайних членов. Пусть вероятность первого и четвертого членов будет обозначена как \(P_1\) и \(P_4\) соответственно, тогда вероятность среднего члена будет равна \(4P_1\) и \(4P_4\).

Чтобы определить закон распределения случайной величины в данной арифметической прогрессии, нам необходимо выразить вероятности всех членов прогрессии через одну переменную.

Мы знаем, что сумма вероятностей всех членов прогрессии должна равняться 1. То есть \(P_1 + 4P_1 + 4P_4 + P_4 = 1\).

Также, мы можем использовать формулу для вычисления n-ного члена арифметической прогрессии:

\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

Где \(a_1\) - первый член прогрессии, \(a_n\) - n-ный член прогрессии, \(d\) - разность между последовательными членами.

Используя данную формулу, мы получаем:

\[a_4 = 8 + 3d\]
\[a_4 = 12\]

Решив уравнение, мы найдем \(d = \frac{4}{3}\).

Теперь у нас есть все необходимые данные, чтобы выразить вероятности в терминах одной переменной. Подставляя значения в уравнение с суммой вероятностей, мы получим:

\[P_1 + 4P_1 + 4P_4 + P_4 = 1\]
\[P_1 + 4P_1 + 4(1 - 4P_1) + (1 - 4P_1) = 1\]

Упрощая это уравнение, мы получаем:

\[P_1 = \frac{1}{9}\]

Таким образом, закон распределения случайной величины в данной арифметической прогрессии будет следующим:

Первый член (8) имеет вероятность \(P_1 = \frac{1}{9}\).
Второй член (\(8 + \frac{4}{3} = \frac{20}{3}\)) и третий член (\(x\)) имеют вероятность \(4P_1 = \frac{4}{9}\).
Четвертый член (12) имеет вероятность \(P_4 = 1 - 4P_1 = \frac{5}{9}\).

Таким образом, закон распределения случайной величины будет:
\[P(8) = \frac{1}{9}, P\left(\frac{20}{3}\right) = \frac{4}{9}, P(x) = \frac{4}{9}, P(12) = \frac{5}{9}\).