Найдите число с наименьшим модулем среди чисел, z, принадлежащих множеству D, определенному следующими неравенствами

Тигр

18

Хорошо, давайте решим задачу шаг за шагом.

а) Неравенство |z + 5i| ≤ |z - 1 + i| можно переписать в виде:

√((Re(z) + 0)^2 + (Im(z) + 5)^2) ≤ √((Re(z) - 1)^2 + (Im(z) + 1)^2),

где Re(z) представляет действительную часть числа z, а Im(z) - мнимую часть числа z.

Давайте квадрат уравнений с обеих сторон:

(Re(z) + 0)^2 + (Im(z) + 5)^2 ≤ (Re(z) - 1)^2 + (Im(z) + 1)^2.

Раскроем скобки:

(Re(z))^2 + 0^2 + (Im(z))^2 + 10Im(z) + 25 ≤ (Re(z))^2 - 2Re(z) + 1 + (Im(z))^2 + 2Im(z) + 1.

Упростим:

10Im(z) + 25 ≤ -2Re(z) + 2 + 2Im(z).

Теперь сгруппируем действительные и мнимые части:

2Re(z) + 10Im(z) ≤ -2 + 2Im(z) - 25.

2Re(z) + 8Im(z) ≤ -27.

Таким образом, мы получаем неравенство 2Re(z) + 8Im(z) ≤ -27.

б) Рассмотрим неравенство |z + 3i - 4|.

Применим определение модуля для комплексного числа: |a + bi| = √(a^2 + b^2).

Подставим значения в данное неравенство:

√((Re(z) + 3)^2 + (Im(z) - 4)^2).

Данный модуль не содержит никаких дополнительных условий или неравенств, поэтому мы просто вычисляем его значение как корень из суммы квадратов действительной и мнимой части.

Теперь, чтобы найти число с наименьшим модулем из множества D, необходимо решить оба неравенства и найти их пересечение.

Надеюсь, это поможет вам понять и решить эту задачу. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь обращаться!