Каков заряд (обозначенный q) частицы массой m = 12.0 а.е.м, входящей в магнитное поле с индукцией B = 300 мТл, когда

Chernyshka

32

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для силы Лоренца, действующей на заряженную частицу в магнитном поле:

\[F = q \cdot (v \times B)\]

где F - сила, действующая на частицу, v - вектор скорости частицы, B - вектор магнитной индукции.

Сила, действующая на частицу, направлена перпендикулярно к плоскости, образуемой v и B. Поскольку траектория частицы является окружностью с диаметром d, можно сказать, что радиус окружности r = d/2.

Теперь рассмотрим, что происходит, когда вектор скорости частицы входит в плоскость, образуемую v и B. В этом случае сила Лоренца будет направлена к центру окружности и будет вызывать движение частицы по окружности. Это центростремительное движение можно описать через центростремительное ускорение \(a_c\):

\[a_c = \frac{v^2}{r}\]

Однако известно, что центростремительное ускорение связано с силой Лоренца следующим образом:

\[a_c = \frac{F}{m}\]

где m - масса частицы. Таким образом, мы можем записать:

\[\frac{F}{m} = \frac{v^2}{r}\]

Вставляя вместо F значение силы Лоренца и решив уравнение относительно заряда q, получим:

\[q = \frac{m \cdot v^2}{r \cdot B}\]

Теперь можно подставить известные значения и рассчитать заряд q:

\[q = \frac{12.0 \, \text{а.м.е} \cdot (0.37 \times 10^6 \, \text{м/с})^2}{(0.166 \, \text{м} \cdot 0.5)^2 \cdot 300 \times 10^{-3} \, \text{Тл}}\]

После вычислений получим:

\[q \approx 8.35 \times 10^{-20} \, \text{Кл}\]

Теперь рассмотрим, как изменится диаметр окружности, если скорость частицы увеличится в 1.5 раза.

При увеличении скорости частицы в 1.5 раза, центростремительное ускорение также изменится в 1.5 раза:

\[a_{c_2} = \frac{(1.5v)^2}{r}\]

Так как центростремительное ускорение связано с силой Лоренца и зарядом частицы, можем записать:

\[a_{c_2} = \frac{F}{m} = \frac{q \cdot v \cdot B}{m}\]

Приравнивая выражения для \(a_{c_2}\), получаем:

\[\frac{q \cdot v \cdot B}{m} = \frac{(1.5v)^2}{r}\]

Зная, что изначальный радиус окружности равен \(r = 0.166 \, \text{м} \cdot 0.5\), можем решить данное уравнение относительно нового радиуса окружности \(r_2\):

\[r_2 = \frac{(1.5v)^2 \cdot r \cdot m}{q \cdot v \cdot B}\]

Подставляя известные значения, получим:

\[r_2 = \frac{(1.5 \times 0.37 \times 10^6 \, \text{м/с})^2 \cdot (0.166 \, \text{м} \cdot 0.5) \cdot 12.0 \, \text{а.м.е}}{8.35 \times 10^{-20} \, \text{Кл} \cdot 0.37 \times 10^6 \, \text{м/с} \cdot 300 \times 10^{-3} \, \text{Тл}}\]

После вычислений получим:

\(r_2 \approx 0.262 \, \text{м}\)

Таким образом, если скорость частицы увеличится в 1.5 раза, диаметр окружности изменится на \(2 \times r_2 = 2 \times 0.262 \, \text{м} = 0.524 \, \text{м}\).