Какова амплитуда колебаний деревянного цилиндра, зависящая от его максимальной кинетической энергии (Е) равной 9 мДж?
Какова амплитуда колебаний деревянного цилиндра, зависящая от его максимальной кинетической энергии (Е) равной 9 мДж? Вертикально расположенный цилиндр частично погружён в воду и после его немного более глубокого погружения и отпускания он начал колебаться вокруг своей оси симметрии. Основание цилиндра имеет площадь S=80 см2. Амплитуду колебаний нужно определить без учета сопротивления воды, при плотности воды p=1 г/см3 и ускорении свободного падения g=10 м/с2.
Сердце_Сквозь_Время 20
Для решения данной задачи, нам потребуется использовать законы сохранения энергии в механике. Максимальная кинетическая энергия колеблющегося цилиндра в данном случае будет преобразована в потенциальную энергию упругой деформации пружины, которая вызывает колебания цилиндра.Максимальная кинетическая энергия (Е) равна потенциальной энергии (U) упругой деформации пружины:
\[Е = U\]
Потенциальная энергия упругой деформации пружины можно выразить через амплитуду колебаний (А) и жёсткость пружины (k):
\[U = \frac{1}{2} k A^2\]
Таким образом, у нас есть следующее уравнение:
\[Е = \frac{1}{2} k A^2\]
Теперь нам нужно найти амплитуду колебаний (А). Для этого мы должны выразить амплитуду колебаний через максимальную кинетическую энергию (Е).
Перепишем уравнение так, чтобы амплитуда колебаний (А) была в левой части:
\[A^2 = \frac{2Е}{k}\]
Для определения амплитуды колебаний, нам нужно выразить жёсткость пружины (k). Жёсткость пружины можно выразить через площадь основания цилиндра (S), плотность воды (p) и ускорение свободного падения (g):
\[k = \frac{Spg}{V}\]
Где V - объем погруженной части цилиндра.
Объем погруженной части цилиндра можно выразить через площадь основания цилиндра (S) и глубину погружения цилиндра в воду (h):
\[V = Sh\]
Подставим это выражение для V в уравнение для жёсткости пружины:
\[k = \frac{Spg}{Sh} = \frac{pg}{h}\]
Теперь мы можем выразить амплитуду колебаний (А) через максимальную кинетическую энергию (Е):
\[A^2 = \frac{2Еh}{pg}\]
В данном случае нам необходимо найти амплитуду колебаний (А), поэтому возьмем положительный корень из обеих частей уравнения:
\[A = \sqrt{\frac{2Еh}{pg}}\]
Подставим известные значения в данное уравнение:
\[A = \sqrt{\frac{2 \cdot 9 \cdot 10^{-3} \cdot 0.8 \cdot 10^{-4}}{1 \cdot 10^{-1} \cdot 10}}\]
Выполним вычисления:
\[A = \sqrt{\frac{0.144}{0.1}} \approx \sqrt{1.44} \approx 1.2 \, \text{см}\]
Таким образом, амплитуда колебаний деревянного цилиндра равна примерно 1,2 см.