Какова амплитуда колебаний и деформация пружины через время t=1 с для грузика массы m=100 г, прикрепленного к пружине

Луна

59

Для решения данной задачи нам потребуется некоторое количество формул и физических законов. Давайте начнем с определения амплитуды колебаний и деформации пружины.

Амплитуда колебаний выражает максимальное расстояние от положения равновесия, на которое смещается грузик в процессе колебаний. Обозначим амплитуду через \(A\).

Деформация пружины, обозначим ее через \(\delta\), выражает изменение длины пружины относительно ее первоначальной длины. В данной задаче у нас есть начальная деформация пружины \(x_0\), которая будет учитываться при определении деформации.

Используем основное уравнение колебаний для пружин:
\[m \cdot \frac{{d^2 x}}{{dt^2}} = - k \cdot x\]

Где:
\(m\) - масса грузика,
\(k\) - жесткость пружины,
\(x\) - координата грузика относительно положения равновесия в момент времени \(t\).

Решим данное дифференциальное уравнение второго порядка, чтобы найти значение амплитуды колебаний \(A\) и деформации пружины \(\delta\) через время \(t=1\) секунда.

Вспомним, что начальная скорость \(v_0\) и начальная деформация \(x_0\) также участвуют в решении данной задачи.

Для начала найдем частоту колебаний \(\omega\):
\[\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\]

Затем найдем фазовую константу \(\phi\):
\[\phi = \arctan\left(\frac{v_0}{\omega \cdot x_0}\right)\]

Теперь можем выразить амплитуду колебаний \(A\):
\[A = \sqrt{x_0^2 + \left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2}\]

А также деформацию пружины \(\delta\):
\[\delta = \frac{k}{m} \cdot A^2\]

Подставим известные значения в формулы:

\(m = 100\) г (масса грузика),
\(k = 10\) Н/м (жесткость пружины),
\(v_0 = 1\) м/с (начальная скорость грузика),
\(x_0 = 4\) см (начальная деформация пружины).

Сначала переведем массу грузика в килограммы: \(m = 100 \, \text{г} = 0.1 \, \text{кг}\).

Теперь можем вычислить частоту колебаний:
\[\omega = \sqrt{\frac{10}{0.1}} \approx 10 \, \text{рад/с}\]

Затем найдем фазовую константу:
\[\phi = \arctan\left(\frac{1}{10 \cdot 0.04}\right) \approx 0.025 \, \text{рад}\]

Теперь у нас есть достаточно информации для вычисления амплитуды колебаний:
\[A = \sqrt{0.04^2 + \left(\frac{1}{10}\right)^2} \approx 0.0402 \, \text{м}\]

А также для вычисления деформации пружины:
\[\delta = \frac{10}{0.1} \cdot 0.0402^2 \approx 0.161 \, \text{м}\]

Теперь перейдем к построению графиков.

График зависимости координаты грузика \(x\) от времени \(t\) будет представлять собой гармонические колебания. В данной задаче амплитуда колебаний равна \(0.0402 \, \text{м}\), частота равна \(10 \, \text{рад/с}\), а фазовая константа равна \(0.025 \, \text{рад}\).

График зависимости скорости грузика \(v\) от времени \(t\) можно построить, используя формулу:
\[v = -\omega \cdot A \cdot \sin(\omega \cdot t + \phi)\]

Со значениями \(A\), \(\omega\) и \(\phi\) из наших расчетов, мы можем построить график.

Я надеюсь, эта информация полезна и понятна для школьника. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, я буду рад на них ответить. Желаю успехов в учебе!