Какова амплитуда колебаний материальной точки, которая совершает гармонические колебания с частотой 2 Гц, в момент

Solnyshko

8

Для решения этой задачи мы можем использовать кинематические уравнения гармонического движения. Гармонические колебания описываются следующими уравнениями:

\[x(t) = A \cdot \cos(2\pi f t + \phi)\]
\[v(t) = -2\pi f \cdot A \cdot \sin(2\pi f t + \phi)\]

Где:
- \(x(t)\) - координата точки в момент времени \(t\),
- \(A\) - амплитуда колебаний,
- \(f\) - частота колебаний,
- \(\phi\) - начальная фаза (фазовый угол) колебаний.

Для решения задачи, нам известна частота \(f = 2\) Гц, начальная координата \(x_0 = 6\) см и начальная скорость \(v_0 = 14\) см/с.

Для нахождения амплитуды \(A\), нам необходимо использовать начальные условия. На момент времени \(t = 0\), величина \(\cos(2\pi f t + \phi)\) будет равна 1, а \(\sin(2\pi f t + \phi)\) будет равна 0. Подставив значения начальных условий, получим:

\[x(0) = A \cdot \cos(2\pi f \cdot 0 + \phi) = A \cdot \cos(\phi) = x_0\]

\[v(0) = -2\pi f \cdot A \cdot \sin(2\pi f \cdot 0 + \phi) = -2\pi f \cdot A \cdot \sin(\phi) = v_0\]

Из первого уравнения, мы можем выразить \(\cos(\phi)\):

\[\cos(\phi) = \frac{x_0}{A}\]

А из второго уравнения, выразим \(\sin(\phi)\):

\[\sin(\phi) = -\frac{v_0}{2\pi f \cdot A}\]

Теперь, используя идентичность \(\sin^2(\phi) + \cos^2(\phi) = 1\), получаем:

\[\left(\frac{x_0}{A}\right)^2 + \left(\frac{v_0}{2\pi f \cdot A}\right)^2 = 1\]

Решая это уравнение, найденное значение \(A\) будет являться амплитудой колебаний материальной точки.

Подставляя значения из условия задачи, получаем:

\[\left(\frac{6}{A}\right)^2 + \left(\frac{14}{2\pi \cdot 2 \cdot A}\right)^2 = 1\]

Далее проводим необходимые вычисления, чтобы найти значение \(A\).