Какова амплитуда колебаний в контуре, если энергия конденсатора емкостью 1 нФ, включенного в колебательный контур

Darya

21

Для решения этой задачи мы воспользуемся формулой для энергии \(W\) конденсатора, которая выражается через его ёмкость \(C\) и напряжение \(U\) на нём:

\[W = \frac{1}{2} C U^2\]

Нам известно, что энергия конденсатора достигает значения 0,1 мкДж, что равно 0,1 мкВт*с. Также дан интервал времени \(\Delta t = 1\) мкс = \(1 \times 10^{-6}\) с.

Так как заряд \(Q\) на конденсаторе связан с напряжением \(U\) на нём формулой \(Q = C U\), то мощность потребляемая конденсатором будет равна \(P = \frac{dW}{dt} = U \frac{dQ}{dt} = U I\), где \(I\) - сила тока. Тогда:

\[P = U I = U \frac{dQ}{dt} = U \frac{d(CU)}{dt} = U C \frac{dU}{dt} = CU \frac{dU}{dt}\]

Мы можем также записать, что мощность потребляемая конденсатором равна изменению его энергии по времени:

\[P = \frac{dW}{dt} = \frac{d(\frac{1}{2}CU^2)}{dt} = \frac{1}{2}C \frac{d(U^2)}{dt} = CU \frac{dU}{dt}\]

Мы знаем, что \(P = \frac{dW}{dt} = 0,1\) мкВт. А амплитуда \(U_0\) напряжения на конденсаторе в колебательном контуре является максимальным значением \(U\).

Теперь мы можем решить эту задачу. Подставив данные в формулу для мощности, получим:

\[0,1 \times 10^{-6} = C \cdot U_0 \cdot \frac{dU}{dt}\]

Так как изменение \(dU\) происходит при изменении энергии конденсатора на интервал времени, то можно записать:

\[dU = U_0\]

Таким образом, подставим \(dU = U_0\) в уравнение для мощности:

\[0,1 \times 10^{-6} = C \cdot U_0 \cdot U_0\]

Теперь найдем амплитуду \(U_0\):

\[U_0 = \sqrt{\frac{0,1 \times 10^{-6}}{C}}\]

У нас дана ёмкость \(C = 1\) нФ = \(1 \times 10^{-9}\) Ф. Подставим \(C\) и найдем значение \(U_0\):

\[U_0 = \sqrt{\frac{0,1 \times 10^{-6}}{1 \times 10^{-9}}} = \sqrt{100} = 10\]

Таким образом, амплитуда колебаний в контуре составляет 10 вольт.