Какова амплитуда скорости маятника, если его скорость задана уравнением vx=Cos

Летучая_Мышь

53

Для того чтобы найти амплитуду скорости маятника, когда его скорость задана уравнением \(v_x = \cos\), мы должны учитывать, что скорость является производной от координаты по времени, то есть \(v_x = \frac{dx}{dt}\), где \(x\) - координата маятника.

У нас дано уравнение для скорости \(v_x = \cos\). Для нахождения координаты маятника \(x(t)\) и, следовательно, его амплитуды, мы интегрируем уравнение скорости по времени. Таким образом,

\[
\int v_x dt = \int \cos dt
\]

Интегрируя правую часть, получаем

\[
x(t) = \int \cos dt = \sin t + C
\]

где \(C\) - константа интегрирования. Теперь нам нужно определить значение константы \(C\). Для этого мы можем использовать начальные условия: скорость маятника равна нулю в точке максимального отклонения (амплитуде). Таким образом, в момент максимального отклонения \(v_x = 0\), что соответствует \(x = \pm A\), где \(A\) - амплитуда.

Подставляя \(v_x = \cos\) в уравнение для координаты маятника \(x(t) = \sin t + C\), получаем:

\[
\sin t + C = \pm A
\]

Из условия \(v_x = 0\) при \(x = \pm A\) следует, что максимальное отклонение достигается в момент времени \(t = \frac{\pi}{2}\).

Подставляя \(t = \frac{\pi}{2}\) и \(x = \pm A\) в уравнение, получаем:

\[
\sin \frac{\pi}{2} + C = \pm A
\]

Так как \(\sin \frac{\pi}{2} = 1\), то получаем:

\[
1 + C = \pm A
\]

Таким образом, \(C = \pm A - 1\). Подставляем это обратно в уравнение координаты маятника \(x(t) = \sin t + C\):

\[
x(t) = \sin t \pm A - 1
\]

Амплитуда \(A\) - это значение, на которое маятник может отклониться от положения равновесия. Таким образом, амплитуда скорости маятника, когда его скорость задана уравнением \(v_x = \cos\), равна \(\pm 1\).