Наступит ли резонанс в колебательных контурах с заданными параметрами: С1 = 200 пФ; L1 = 5 Гн; С2 = 80 пФ; 1 2

Магический_Замок

37

Для определения возникновения резонанса в колебательных контурах с заданными параметрами, мы должны проверить условие согласования частоты контура с заданной частотой внешнего источника.

Для этого, сначала найдём резонансные частоты обоих контуров, используя формулу:

\[f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\]

Где:
- \(f\) - резонансная частота,
- \(\pi\) - математическая константа (пи),
- \(L\) - индуктивность контура, выраженная в генри (Гн),
- \(C\) - ёмкость контура, выраженная в фарадах (Ф).

Для первого контура с параметрами \(C_1 = 200 \, \text{пФ}\) и \(L_1 = 5 \, \text{Гн}\), резонансная частота \(f_1\) будет:

\[f_1 = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_1C_1}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{5 \, \text{Гн} \times 200 \, \text{пФ}}}\]

Подставляя значения и производя вычисления, получим:

\[f_1 = \frac{1}{2\pi\sqrt{5 \times 10^{-9} \, \text{Гн} \times 200 \times 10^{-12} \, \text{Ф}}} = \frac{1}{2\pi \times 10^{-6}\, \text{Гц}}\]

Далее, для второго контура с параметрами \(C_2 = 80 \, \text{пФ}\), \(L_2 = 3 \, \text{Гн}\), резонансная частота \(f_2\) будет:

\[f_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_2C_2}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{3 \, \text{Гн} \times 80 \, \text{пФ}}}\]

Вычисляя значение, получаем:

\[f_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{3 \times 10^{-9} \, \text{Гн} \times 80 \times 10^{-12} \, \text{Ф}}} = \frac{1}{2\pi \times 9.4868 \times 10^{-6}\, \text{Гц}}\]

Теперь, чтобы определить, наступит ли резонанс, нужно сравнить резонансные частоты контуров. Если резонансные частоты совпадают, то наступит резонанс.

Поэтому, чтобы узнать, наступит ли резонанс, нужно проверить равенство \(f_1 = f_2\).

Подставляя значения резонансных частот, получим:

\[\frac{1}{2\pi \times 10^{-6}\, \text{Гц}} = \frac{1}{2\pi \times 9.4868 \times 10^{-6}\, \text{Гц}}\]

Обратите внимание, что у нас есть общий множитель \(\frac{1}{2\pi}\), который сокращается, поэтому его можно отбросить при сравнении.

Ну, остальная часть формулы очень низкая, но она не ноль. Кроме того, обращает наше внимание на доли секунды. Поэтому, когда мы сокращаем значение \(\frac{1}{2\pi \times 10^{-6}\, \text{Гц}}\) и \(\frac{1}{2\pi \times 9.4868 \times 10^{-6}\, \text{Гц}}\), у нас будет значение в диапазоне порядка десятков миллисекунд. Это можно записать в следующем виде: \(10^{-2}\) секунд.

Таким образом, оказывается, что резонансная частота отличается на порядок десятков миллисекунд, что очень мало. Поэтому мы можем сказать, что резонанс не наступит в колебательных контурах с заданными параметрами.