Какова апофема правильной треугольной пирамиды с площадью основания, равной корню из 3, и углом наклона боковой грани

Yahont

7

Для начала, давайте разберемся с терминами, чтобы быть уверенными, что все понимаем.

Апофема - это расстояние от вершины пирамиды до центра основания, проходящее через центр этого основания. Она также является высотой боковой грани, проходящей через вершину.

Правильная треугольная пирамида - это пирамида, у которой основание является равносторонним треугольником, а все боковые грани являются равнобедренными треугольниками.

Теперь обратимся к данной задаче. У нас есть правильная треугольная пирамида с площадью основания, равной \(\sqrt{3}\) и углом наклона боковой грани к плоскости основания 45°.

Для решения задачи, мы можем использовать геометрические свойства треугольников. Рассмотрим следующую схему.

Схема правильной треугольной пирамиды:

A
/|\
/ | \
/ | \
/ |h \
/ | \
/ | \
B __/*\__ C
основание

В данной схеме, основание пирамиды образует равносторонний треугольник ABC, а точка A обозначает вершину пирамиды. Также, h обозначает апофему, то есть длину, которую мы хотим найти.

Из схемы видно, что высота (h) пирамиды является биссектрисой треугольника ABC, и она делит основание на две равные части. Также, треугольник AHB является равнобедренным с основанием AB и углом в точке H, который является углом наклона боковой грани к плоскости основания.

Так как основание равностороннее, то сторону AB можно найти с помощью формулы для площади равностороннего треугольника:

\[S = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4} = \sqrt{3}\]

Отсюда получаем:

\[a^2 = 4\]

\[a = 2\]

Теперь у нас есть сторона основания равная 2. Если мы находим высоту треугольника AHB (h), то также получим апофему пирамиды.

Треугольник AHB:

A
/|\
/ | \
/ | \
/ |h \
/ | \
/ | \
B __/*\__ C
основание

Используя тригонометрию и угол наклона боковой грани 45°, мы можем записать:

\[\tan(45^\circ) = \frac{h}{\frac{a}{2}}\]

\[\tan(45^\circ) = \frac{h}{1}\]

\[\frac{h}{1} = 1\]

\[h = 1\]

Таким образом, мы получили, что высота треугольника AHB (или апофема) равна 1.

Ответ: апофема правильной треугольной пирамиды с площадью основания, равной \(\sqrt{3}\), и углом наклона боковой грани к плоскости основания 45°, составляет 1.