Какова будет максимальная высота подъема маленького резинового мячика массой 100 г, запущенного вертикально вверх

Gosha_8324

28

Для решения этой задачи мы можем использовать законы сохранения механической энергии. В начальный момент времени, когда резиновый мячик запускается из пружинного механизма, энергия представляется суммой потенциальной и кинетической энергий.

Потенциальная энергия пружины, когда она была сжата на 10 см, равна работе, которую совершила сила упругости пружины:

$$E_{\text{пр}}=\frac{1}{2}k{x}^2$$

где $k$ - коэффициент жесткости пружины, $x$ - изначальное смещение пружины (10 см = 0.1 м).

Затем, при отскоке мячик поднимается вверх. На высоте максимального подъема его кинетическая энергия становится равной нулю, и весь энергия превращается в потенциальную энергию.

Поскольку потенциальная энергия пропорциональна высоте подъема, мы можем записать:

$$E_{\text{пр}}=mgh$$

где $m$ - масса мячика, $g$ - ускорение свободного падения (примем его равным 9.8 м/с²), $h$ - максимальная высота подъема мячика.

Теперь мы знаем, что механическая энергия мячика уменьшается вдвое после каждого отскока. После первого отскока:

$$E_{\text{пр1}}=\frac{1}{2}k{x}_1^2$$
$$E_{\text{к1}}=\frac{1}{2}m{v}_1^2$$

где $v_1$ - скорость мячика после первого отскока, $x_1$ - сжатие пружины после первого отскока. После второго отскока:

$$E_{\text{пр2}}=\frac{1}{2}k{x}_2^2$$
$$E_{\text{к2}}=\frac{1}{2}m{v}_2^2$$

и после третьего отскока:

$$E_{\text{пр3}}=\frac{1}{2}k{x}_3^2$$
$$E_{\text{к3}}=\frac{1}{2}m{v}_3^2$$

Мы знаем, что после каждого отскока механическая энергия уменьшается вдвое, поэтому мы можем записать:

$$E_{\text{пр2}}=\frac{1}{2}{E}_{\text{пр1}}$$
$$E_{\text{к2}}=\frac{1}{2}{E}_{\text{к1}}$$

и также:

$$E_{\text{пр3}}=\frac{1}{2}{E}_{\text{пр2}}$$
$$E_{\text{к3}}=\frac{1}{2}{E}_{\text{к2}}$$

Теперь мы можем записать выражения для энергий после каждого отскока в терминах массы мячика и начального смещения пружины:

$$E_{\text{пр1}}=\frac{1}{2}k{x}_1^2$$
$$E_{\text{пр2}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}k{x}_1^2$$
$$E_{\text{пр3}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}k{x}_1^2$$

где мы использовали свойство уменьшения энергии после каждого отскока.

Теперь мы можем выразить скорости после каждого отскока в терминах начального смещения пружины:

$$E_{\text{к1}}=\frac{1}{2}m{v}_1^2$$
$$E_{\text{к2}}=\frac{1}{2}m{\left(\frac{1}{2}{v}_1\right)}^2$$
$$E_{\text{к3}}=\frac{1}{2}m{(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}{v}_1)}^2$$

Теперь, чтобы найти максимальную высоту подъема мячика, нам нужно записать закон сохранения механической энергии:

$$E_{\text{пр1}}+E_{\text{к1}}=E_{\text{пр3}}+E_{\text{к3}}+mgh$$

Подставляя значения, мы получаем:

$$\frac{1}{2}k{x}_1^2+\frac{1}{2}m{v}_1^2=\frac{1}{8}k{x}_1^2+\frac{1}{8}m{v}_1^2+mgh$$

Сокращая коэффициенты и выражая $h$, получаем окончательное выражение:

$$h=\frac{1}{6}(\frac{k{x}_1^2}{mg}+v_1^2)$$

Теперь мы можем подставить значения в данное выражение:

$$h=\frac{1}{6}(\frac{2000\cdot (0.1{)}^2}{0.1\cdot 9.8}+0)$$

$$h=\frac{1}{6}\cdot 20.41$$

$$h\approx 3.40\text{м}$$

Итак, максимальная высота подъема маленького резинового мячика, запущенного вертикально вверх из пружинного механизма после третьего отскока равна примерно 3.40 метров.