Какова будет максимальная высота подъема маленького резинового мячика массой 100 г, запущенного вертикально вверх

Gosha_8324

28

Для решения этой задачи мы можем использовать законы сохранения механической энергии. В начальный момент времени, когда резиновый мячик запускается из пружинного механизма, энергия представляется суммой потенциальной и кинетической энергий.

Потенциальная энергия пружины, когда она была сжата на 10 см, равна работе, которую совершила сила упругости пружины:

\[E_{\text{пр}} = \frac{1}{2} k x^2\]

где \(k\) - коэффициент жесткости пружины, \(x\) - изначальное смещение пружины (10 см = 0.1 м).

Затем, при отскоке мячик поднимается вверх. На высоте максимального подъема его кинетическая энергия становится равной нулю, и весь энергия превращается в потенциальную энергию.

Поскольку потенциальная энергия пропорциональна высоте подъема, мы можем записать:

\[E_{\text{пр}} = mgh\]

где \(m\) - масса мячика, \(g\) - ускорение свободного падения (примем его равным 9.8 м/с²), \(h\) - максимальная высота подъема мячика.

Теперь мы знаем, что механическая энергия мячика уменьшается вдвое после каждого отскока. После первого отскока:

\[E_{\text{пр1}} = \frac{1}{2} k x_1^2\]
\[E_{\text{к1}} = \frac{1}{2} mv_1^2\]

где \(v_1\) - скорость мячика после первого отскока, \(x_1\) - сжатие пружины после первого отскока. После второго отскока:

\[E_{\text{пр2}} = \frac{1}{2} k x_2^2\]
\[E_{\text{к2}} = \frac{1}{2} mv_2^2\]

и после третьего отскока:

\[E_{\text{пр3}} = \frac{1}{2} k x_3^2\]
\[E_{\text{к3}} = \frac{1}{2} mv_3^2\]

Мы знаем, что после каждого отскока механическая энергия уменьшается вдвое, поэтому мы можем записать:

\[E_{\text{пр2}} = \frac{1}{2} E_{\text{пр1}}\]
\[E_{\text{к2}} = \frac{1}{2} E_{\text{к1}}\]

и также:

\[E_{\text{пр3}} = \frac{1}{2} E_{\text{пр2}}\]
\[E_{\text{к3}} = \frac{1}{2} E_{\text{к2}}\]

Теперь мы можем записать выражения для энергий после каждого отскока в терминах массы мячика и начального смещения пружины:

\[E_{\text{пр1}} = \frac{1}{2} k x_1^2\]
\[E_{\text{пр2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} k x_1^2\]
\[E_{\text{пр3}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} k x_1^2\]

где мы использовали свойство уменьшения энергии после каждого отскока.

Теперь мы можем выразить скорости после каждого отскока в терминах начального смещения пружины:

\[E_{\text{к1}} = \frac{1}{2} mv_1^2\]
\[E_{\text{к2}} = \frac{1}{2} m\left(\frac{1}{2} v_1\right)^2\]
\[E_{\text{к3}} = \frac{1}{2} m\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} v_1\right)^2\]

Теперь, чтобы найти максимальную высоту подъема мячика, нам нужно записать закон сохранения механической энергии:

\[E_{\text{пр1}} + E_{\text{к1}} = E_{\text{пр3}} + E_{\text{к3}} + mgh\]

Подставляя значения, мы получаем:

\[\frac{1}{2} k x_1^2 + \frac{1}{2} mv_1^2 = \frac{1}{8} k x_1^2 + \frac{1}{8} mv_1^2 + mgh\]

Сокращая коэффициенты и выражая \(h\), получаем окончательное выражение:

\[h = \frac{1}{6} \left(\frac{kx_1^2}{mg} + v_1^2\right)\]

Теперь мы можем подставить значения в данное выражение:

\[h = \frac{1}{6} \left(\frac{2000 \cdot (0.1)^2}{0.1 \cdot 9.8} + 0\right)\]

\[h = \frac{1}{6} \cdot 20.41\]

\[h \approx 3.40 \, \text{м}\]

Итак, максимальная высота подъема маленького резинового мячика, запущенного вертикально вверх из пружинного механизма после третьего отскока равна примерно 3.40 метров.