Какова будет максимальная высота подъема маленького резинового мячика массой 100 г, запущенного вертикально вверх

  • 67
Какова будет максимальная высота подъема маленького резинового мячика массой 100 г, запущенного вертикально вверх из пружинного механизма с коэффициентом жесткости 2000 Н/м, после третьего отскока, при условии, что его механическая энергия уменьшается вдвое после каждого отскока? Пружина в механизме изначально была сжата на 10 см. Учтите, что сопротивление воздуха несущественно. Приведите ответ в предложенной форме.
Gosha_8324
28
Для решения этой задачи мы можем использовать законы сохранения механической энергии. В начальный момент времени, когда резиновый мячик запускается из пружинного механизма, энергия представляется суммой потенциальной и кинетической энергий.

Потенциальная энергия пружины, когда она была сжата на 10 см, равна работе, которую совершила сила упругости пружины:

Eпр=12kx2

где k - коэффициент жесткости пружины, x - изначальное смещение пружины (10 см = 0.1 м).

Затем, при отскоке мячик поднимается вверх. На высоте максимального подъема его кинетическая энергия становится равной нулю, и весь энергия превращается в потенциальную энергию.

Поскольку потенциальная энергия пропорциональна высоте подъема, мы можем записать:

Eпр=mgh

где m - масса мячика, g - ускорение свободного падения (примем его равным 9.8 м/с²), h - максимальная высота подъема мячика.

Теперь мы знаем, что механическая энергия мячика уменьшается вдвое после каждого отскока. После первого отскока:

Eпр1=12kx12
Eк1=12mv12

где v1 - скорость мячика после первого отскока, x1 - сжатие пружины после первого отскока. После второго отскока:

Eпр2=12kx22
Eк2=12mv22

и после третьего отскока:

Eпр3=12kx32
Eк3=12mv32

Мы знаем, что после каждого отскока механическая энергия уменьшается вдвое, поэтому мы можем записать:

Eпр2=12Eпр1
Eк2=12Eк1

и также:

Eпр3=12Eпр2
Eк3=12Eк2

Теперь мы можем записать выражения для энергий после каждого отскока в терминах массы мячика и начального смещения пружины:

Eпр1=12kx12
Eпр2=1212kx12
Eпр3=121212kx12

где мы использовали свойство уменьшения энергии после каждого отскока.

Теперь мы можем выразить скорости после каждого отскока в терминах начального смещения пружины:

Eк1=12mv12
Eк2=12m(12v1)2
Eк3=12m(1212v1)2

Теперь, чтобы найти максимальную высоту подъема мячика, нам нужно записать закон сохранения механической энергии:

Eпр1+Eк1=Eпр3+Eк3+mgh

Подставляя значения, мы получаем:

12kx12+12mv12=18kx12+18mv12+mgh

Сокращая коэффициенты и выражая h, получаем окончательное выражение:

h=16(kx12mg+v12)

Теперь мы можем подставить значения в данное выражение:

h=16(2000(0.1)20.19.8+0)

h=1620.41

h3.40м

Итак, максимальная высота подъема маленького резинового мячика, запущенного вертикально вверх из пружинного механизма после третьего отскока равна примерно 3.40 метров.