Какова будет общая сумма чисел, которые выводятся на экран в течение двух минут, если изначально на экране компьютера

Veterok

70

Давайте разберем задачу пошагово. Изначально на экране компьютера отображаются числа 54, 15 и 74. Согласно условию задачи, каждую секунду каждое число заменяется средним арифметическим двух других чисел.

Поэтапно рассмотрим, как числа на экране будут меняться:

1) Первая секунда:
- Число 54 будет заменено средним арифметическим чисел 15 и 74, то есть \(\frac{{15+74}}{2} = 44.5\).
- Числа 15 и 74 остаются без изменений.

2) Вторая секунда:
- Число 44.5 заменяет число 54. Теперь у нас на экране числа 15, 44.5 и 74.
- Число 15 остается без изменений.
- Число 74 будет заменено средним арифметическим чисел 15 и 44.5, то есть \(\frac{{15+44.5}}{2} = 29.75\).

3) Третья секунда:
- Число 15 остается без изменений.
- Число 44.5 заменяет число 54.
- Число 29.75 заменяет число 74.

Можно продолжать подобные шаги до тех пор, пока не пройдет две минуты. Если взглянуть на шаги, можно обратить внимание на следующие закономерности:

- Число 15 остается на экране на протяжении всего времени.
- После каждой секунды первоначальное количество чисел на экране возрастает на 1.

Чтобы найти общую сумму чисел, которые выводятся на экран в течение двух минут, нужно рассчитать, сколько раз меняется каждое число и сложить их:

- Число 15 остается на экране всегда и меняется (\(n-1\)) раз, где \(n\) - количество чисел на экране.
- Числа 44.5 и 29.75 появляются каждое дважды, поскольку одно из чисел, используемых для вычисления, заменяется другим числом. Так что каждое из этих чисел появляется (\(n-2\)) раза.

В нашем случае сначала чисел на экране было 3, затем оно увеличилось до 4 и осталось таким до конца. Есть 3/4 числа на экране, которые меняются одинаковое количество раз (\(n-1\)), и 2/4 числа на экране, которые меняются другим числом одинаковое количество раз (\(n-2\)).

так что общая сумма чисел можно рассчитать следующим образом:

\[\text{{Сумма чисел на экране}} = 15 \cdot (n-1) + (44.5+29.75) \cdot (n-2)\]

Время двух минут составляет 120 секунд. Таким образом, нам нужно найти общую сумму чисел на экране в шаге 120 (после 119-й секунды). Подставим \(n=4\) и посчитаем:

\[\text{{Сумма чисел на экране}} = 15 \cdot (4-1) + (44.5+29.75) \cdot (4-2) = 15 \cdot 3 + 74.25 \cdot 2\]

Расчитаем это выражение:

\[\text{{Сумма чисел на экране}} = 45 + 148.5 = 193.5\]

Итак, общая сумма чисел, которые выводятся на экран в течение двух минут, составляет 193.5.