Какова будет скорость цилиндра в конце наклонной плоскости, при условии что цилиндр скатывается без скольжения? Длина

Даниил

67

Чтобы решить эту задачу, нам нужно применить законы динамики и уравнения кинематики.

Для начала, определим величину ускорения цилиндра по наклонной плоскости. По условию, цилиндр скатывается без скольжения, что означает, что сила трения между цилиндром и плоскостью равна силе тяжести, действующей на цилиндр.

Формула для силы трения может быть записана как:

\[F_{\text{тр}} = \mu \cdot F_{\text{н}},\]

где \(F_{\text{тр}}\) - сила трения, \(\mu\) - коэффициент трения между цилиндром и плоскостью, \(F_{\text{н}}\) - нормальная сила.

Сила нормального давления \(F_{\text{н}}\) равна весу цилиндра, так как цилиндр находится в состоянии покоя по вертикали:

\[F_{\text{н}} = m \cdot g,\]

где \(m\) - масса цилиндра, \(g\) - ускорение свободного падения (приближенно равно 9.8 м/с²).

Используя выражения для силы трения и нормальной силы, мы можем получить следующее уравнение:

\[\mu \cdot m \cdot g = m \cdot a,\]

где \(a\) - ускорение цилиндра.

Отсюда ускорение цилиндра \(a\) равно:

\[a = \mu \cdot g.\]

Далее, мы можем вычислить скорость цилиндра в конце наклонной плоскости, используя уравнение кинематики:

\[v^2 = u^2 + 2 \cdot a \cdot s,\]

где \(v\) - конечная скорость цилиндра, \(u\) - начальная скорость цилиндра (равна 0, так как цилиндр начинает движение с покоя), \(a\) - ускорение цилиндра, \(s\) - длина плоскости.

Подставляя известные значения и решая уравнение относительно \(v\), получаем:

\[v = \sqrt{2 \cdot a \cdot s}.\]

Теперь можем подставить значения \(a\) (равное \(\mu \cdot g\)) и \(s\) в данное уравнение:

\[v = \sqrt{2 \cdot \mu \cdot g \cdot s}.\]

Подставляя данные из условия задачи \(\mu = 0.1\), \(g \approx 9.8\) м/с² и \(s = 10\) метров, получаем:

\[v = \sqrt{2 \cdot 0.1 \cdot 9.8 \cdot 10}.\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[v \approx 4.427 \, \text{м/с}.\]

Итак, скорость цилиндра в конце наклонной плоскости без скольжения составляет около 4.427 м/с.