Какова будет скорость тела в конце спуска с вершины плоскости высотой 5 м, под углом 45° к горизонту, если коэффициент

Belenkaya_8858

67

Для решения этой задачи нам понадобятся законы механики и основные формулы, связанные с движением.

Шаг 1: Найдем ускорение тела вдоль плоскости спуска.
Согласно второму закону Ньютона, сила трения равна произведению коэффициента трения на нормальную силу, то есть \(F_{\text{тр}} = \mu \cdot F_{\text{н}}\). В данном случае нормальная сила равна весу тела, \(F_{\text{н}} = m \cdot g\), где \(m\) - масса тела, а \(g\) - ускорение свободного падения.

Шаг 2: Так как тело скатывается без проскальзывания, то величина трения равна \(F_{\text{тр}} = m \cdot g \cdot \sin(\alpha)\), где \(\alpha\) - угол наклона плоскости.

Шаг 3: Разложим силу тяжести на две составляющие: \(F_{\text{гор}} = m \cdot g \cdot \cos(\alpha)\) - горизонтальная составляющая и \(F_{\text{верт}} = m \cdot g \cdot \sin(\alpha)\) - вертикальная составляющая. Так как тело скатывается без проскальзывания, то горизонтальная составляющая силы тяжести компенсируется силой трения.

Шаг 4: Рассмотрим теперь только вертикальную составляющую силы тяжести \(F_{\text{верт}} = m \cdot g \cdot \sin(\alpha)\). Эта составляющая обеспечивает ускорение тела вдоль плоскости спуска. Запишем второй закон Ньютона для вертикальной составляющей силы: \(F_{\text{верт}} = m \cdot a\), где \(a\) - ускорение тела вдоль плоскости спуска.

Шаг 5: Итак, у нас есть равенство \(m \cdot g \cdot \sin(\alpha) = m \cdot a\). Масса тела \(m\) сокращается, и мы можем найти ускорение \(a\). Подставив значение ускорения свободного падения \(g = 10 \, \text{м/с}^2\) и угла наклона \(\alpha = 45^\circ = \frac{\pi}{4} \, \text{рад}\), получим уравнение:

\[10 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = a\]

Шаг 6: Вычислим значение ускорения \(a\):

\[a = 10 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \approx 7,07 \, \text{м/с}^2\]

Шаг 7: Теперь найдем скорость тела в конце спуска. Для этого воспользуемся формулой для равнозамедленного движения:

\[v^2 = u^2 + 2 \cdot a \cdot s\]

где \(v\) - искомая скорость тела в конце спуска, \(u\) - начальная скорость (в данном случае тело покоится на вершине плоскости, поэтому \(u = 0\)), \(a\) - ускорение тела вдоль плоскости спуска и \(s\) - путь, пройденный телом.

Шаг 8: Найдем путь, пройденный телом. Для этого воспользуемся формулой для высоты падения свободного тела:

\[s = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2\]

где \(t\) - время падения тела с высоты \(h\).

Шаг 9: Вычислим время падения тела \(t\). Расстояние \(h\) равно 5 метрам, а ускорение \(g\) равно 10 \(\text{м/с}^2\). Подставим эти значения в формулу:

\[5 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t^2\]

\[t^2 = \frac{5}{10}\]

\[t = \sqrt{\frac{1}{2}}\]

Шаг 10: Подставим значения \(u = 0\), \(a \approx 7,07 \, \text{м/с}^2\) и \(s = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2\) в формулу для равнозамедленного движения:

\[v^2 = 0 + 2 \cdot 7,07 \cdot \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2\]

\[v^2 = 7,07 \cdot 5\]

\[v^2 = 35,35\]

Шаг 11: Итак, скорость тела в конце спуска будет равна:

\[v = \sqrt{35,35} \, \text{м/с} \approx 5,95 \, \text{м/с}\]

Ответ: Скорость тела в конце спуска с вершины плоскости составит примерно 5,95 м/с.