Какова будет скорость веревки, когда ее свободный конец соскользнет со стола, если небольшой груз массой

Luna

16

Эта задача является примером применения законов динамики для решения задач связанных с движением. Для того чтобы найти скорость веревки, когда ее свободный конец соскользнет со стола, нам нужно рассмотреть силы, действующие на систему.

Вначале определим все известные величины:

Масса груза, прикрепленного к веревке: \(m_1 = 100\) г = 0,1 кг
Масса веревки: \(m_2 = 300\) г = 0,3 кг
Длина веревки: \(L = 72\) см = 0,72 м
Ускорение свободного падения: \(g = 10\) м/с²

Рассмотрим движение груза. На груз действует только сила тяжести, равная \(F_1 = m_1 \cdot g\). Следовательно, груз будет двигаться с ускорением, равным \(a_1 = \frac{{F_1}}{{m_1}} = \frac{{m_1 \cdot g}}{{m_1}} = g\).

Теперь рассмотрим движение веревки. На веревку действуют две силы: сила тяжести и натяжение веревки. Сила тяжести, действующая на веревку, равна \(F_2 = m_2 \cdot g\). Натяжение веревки в любом её сечении будет одинаковым. То есть натяжение веревки в точке, где груз прикреплен к веревке, равно натяжению веревки в точке соскальзывания с гладким отверстием.

Разберем достаточно подробно второй закон Ньютона для веревки. Веревка может двигаться только вдоль оси, касательной к поверхности стола. Тогда сумма сил, действующих по веревке, равна \(F_2 - T = m_2 \cdot a_2\), где \(T\) - натяжение веревки, а \(a_2\) - ускорение веревки. Т.к. веревка начинает соскальзывать без начальной скорости, то ускорение веревки и груза в начальный момент времени равны.

Теперь мы можем записать второй закон Ньютона для веревки и для груза, используя полученные выражения для ускорений:

\(m_2 \cdot a_2 = F_2 - T\)
\(m_1 \cdot a_1 = T\)

Так как груз и веревка двигаются вместе, то у него одинаковое ускорение \(a_1 = a_2 = g\).

Подставляя выражение для силы тяжести и натяжения, получим:

\(m_2 \cdot g = m_2 \cdot g - T\)
\(m_1 \cdot g = T\)

Решая эту систему уравнений, найдем:

\(T = m_1 \cdot g = 0,1 \cdot 10 = 1\) Н
\(a_2 = \frac{{F_2 - T}}{{m_2}} = \frac{{m_2 \cdot g - T}}{{m_2}} = \frac{{0,3 \cdot 10 - 1}}{{0,3}} = 2\) м/с²

Теперь, используя ускорение веревки и формулу равноускоренного движения \(v^2 = v_0^2 + 2 \cdot a \cdot s\), где \(v\) - скорость, \(v_0\) - начальная скорость, \(a\) - ускорение, \(s\) - путь, найдем скорость веревки:

\(0^2 = v_0^2 + 2 \cdot 2 \cdot 0,72\)
\(v_0^2 = -2 \cdot 2 \cdot 0,72\)
\(v_0 = \sqrt{{-2 \cdot 2 \cdot 0,72}}\)

Поскольку у нас есть знак минус, это означает, что скорость будет направлена вниз. Чтобы получить абсолютное значение скорости, мы можем взять модуль скорости:

\(v_0 = |\sqrt{{-2 \cdot 2 \cdot 0,72}}|\)

Вычисляя, получим:

\(v_0 = 2,68\) м/с

Таким образом, скорость веревки будет примерно равна 2,68 м/с и будет направлена вниз.