Какова частота колебаний и индуктивность катушки контура, если максимальная энергия магнитного поля составляет 0,18

Zvuk

29

Для начала, нам понадобятся формулы, которые помогут решить задачу. Давайте воспользуемся формулой для энергии магнитного поля \(W_m\) внутри катушки контура и формулой для периода колебаний \(T\) контура:

\[W_m = \frac{1}{2}LI^2\]

\[T = \frac{2\pi}{\omega}\]

Здесь:
\(W_m\) - максимальная энергия магнитного поля (в данном случае 0,18 мДж),
\(L\) - индуктивность катушки контура,
\(I\) - максимальный ток в цепи контура,
\(\omega\) - угловая частота колебаний (в радианах в секунду).

Теперь давайте пошагово решим задачу.

Шаг 1: Найдем максимальный ток в цепи контура. Дано, что ток меняется по закону \(i = -0.06\sin(106\pi t)\). Максимальный ток соответствует амплитуде синусоиды, поэтому максимальный ток \(I = 0.06\) А.

Шаг 2: Найдем угловую частоту колебаний \(\omega\). Дано, что частота \(\nu = 106\) Гц. Угловая частота связана с обычной частотой следующим соотношением: \(\omega = 2\pi\nu\). Подставляя данные, получаем \(\omega = 2\pi \cdot 106 = 212\pi\) рад/с.

Шаг 3: Используя формулу для энергии магнитного поля, найдем индуктивность катушки контура. Подставляя известные значения, получаем:

\[W_m = \frac{1}{2}LI^2\]

\[0.18 \cdot 10^{-3} = \frac{1}{2} \cdot L \cdot (0.06)^2\]

Решая это уравнение относительно индуктивности \(L\), получаем:

\[L = \frac{0.18 \cdot 10^{-3}}{\frac{1}{2} \cdot (0.06)^2}\]

Вычисляя значение, получаем \(L \approx 0.05\) Гн.

Шаг 4: Найдем частоту колебаний \(f\) контура, используя формулу для периода колебаний:

\[T = \frac{2\pi}{\omega}\]

\[T = \frac{2\pi}{212\pi} = \frac{1}{106}\] с

Частота колебаний определяется как обратное значение периода: \(f = \frac{1}{T} = 106\) Гц.

Итак, ответ на задачу:

Частота колебаний контура составляет 106 Гц, а индуктивность катушки контура равна 0.05 Гн.