Какова частота вращения диска вокруг вертикальной оси, если на нем укреплен отвес, расположенный на расстоянии 20

Vechnyy_Moroz

14

Для решения данной задачи, нам понадобятся некоторые физические законы. Сперва, рассмотрим связь между угловой скоростью вращения диска и линейной скоростью точки на его окружности.

Угловая скорость \(\omega\) определяется как изменение угла \(\theta\) со временем и измеряется в радианах в секунду. Линейная скорость \(v\) точки на окружности диска равна произведению радиуса окружности на угловую скорость. В данной задаче, у нас есть нить, прикрепленная к диску, и отклоняющаяся от вертикали на угол 30 градусов. Это означает, что точка на окружности движется по дуге длиной 40 см.

Расстояние, пройденное точкой на окружности, равно длине окружности \(L\), которая выражается через радиус окружности \(r\) следующим образом:

\[L = 2\pi r\]

В данной задаче, длина окружности равна 40 см, поэтому:

\[2\pi r = 40\]

Отсюда находим радиус окружности:

\[r = \frac{40}{2\pi}\]

Теперь, когда у нас есть радиус, мы можем найти линейную скорость точки на окружности. Линейная скорость \(v\) выражается через радиус окружности \(r\) и угловую скорость \(\omega\) следующим образом:

\[v = r \cdot \omega\]

Согласно геометрическим свойствам, отклонение нити от вертикальной оси равно углу \(\theta\) между нитью и вертикалью. В данной задаче, угол равен 30 градусов. Мы также знаем, что линейная скорость \(v\) можно выразить через периодическую функцию \(\sin\), так как точка на окружности движется вдоль синусоидальной траектории. Получаем следующее соотношение:

\[v = \omega \cdot r = \omega \cdot \frac{40}{2\pi} \sim \sin(\theta) \]

Поскольку \( \theta = 30^\circ \) в радианах \( \theta = \frac{\pi}{6}\), а \(v\) равно 20 см/с:

\[ 20 = \omega \cdot \frac{40}{2\pi} \]

Для решения уравнения относительно \(\omega\), можно перемножить оба выражения \(20 = \omega \cdot \frac{40}{2\pi}\) на \(\frac{2\pi}{40}\), чтобы исключить дробь:

\[ \omega = \frac{20 \cdot 2\pi}{40} = \frac{\pi}{2} \, \text{рад/с} \]

Итак, частота вращения диска вокруг вертикальной оси равна \( \frac{\pi}{2} \, \text{рад/с} \).