Какова циркуляция вектора магнитной индукции вдоль контура Г, который представляет собой концентрическую окружность

Ветерок_7686

21

При проведении электрического тока по проводнику в форме окружности радиусом R создаётся магнитное поле. Циркуляция вектора магнитной индукции вдоль контура Г можно определить с использованием закона Био-Савара-Лапласа.

Для начала введем обозначения. Пусть I - сила тока, протекающего по проводнику, r - радиус внутренней окружности контура Г, R - радиус проводника, через который протекает ток.

Закон Био-Савара-Лапласа утверждает, что магнитное поле \(dB\) создаваемое элементом проводника длиной \(dl\) равно:

\[dB = \frac{{\mu_0 \cdot I \cdot dl \times r}}{{4 \cdot \pi \cdot (r^2 + R^2 - 2 \cdot r \cdot R \cdot \cos(\theta))^{3/2}}}\]

где \(\mu_0\) - магнитная постоянная, \(\theta\) - угол между радиус-вектором и элементарным участком проводника.

Теперь для нахождения циркуляции вектора магнитной индукции B вдоль контура Г интегрируем выражение \(dB\) по всему контуру:

\[\oint_{Г} B \cdot dl = \oint_{Г} dB = \oint_{Г} \frac{{\mu_0 \cdot I \cdot dl \times r}}{{4 \cdot \pi \cdot (r^2 + R^2 - 2 \cdot r \cdot R \cdot \cos(\theta))^{3/2}}}\]

Рассмотрим элемент дуги контура \(d\theta\) и его радиус-вектор к центру окружности \(r\). В этом случае угол \(\theta\) равен \(\theta = \cos^{-1}\left(\frac{r}{\sqrt{r^2+R^2}}\right)\).

Таким образом, получим:

\[\oint_{Г} B \cdot dl = \int_{0}^{2\pi} \frac{{\mu_0 \cdot I \cdot r \cdot \sqrt{r^2+R^2}}}{4 \cdot \pi \cdot (r^2+R^2-2 \cdot r \cdot R \cdot \cos(\cos^{-1}\left(\frac{r}{\sqrt{r^2+R^2}}\right)))^{3/2}} \cdot Rd\theta\]

Выполним подстановку значения угла \(\theta\) в данное выражение:

\[\oint_{Г} B \cdot dl = \int_{0}^{2\pi} \frac{{\mu_0 \cdot I \cdot r \cdot \sqrt{r^2+R^2}}}{4 \cdot \pi \cdot (r^2+R^2-2 \cdot r \cdot R \cdot \frac{r}{\sqrt{r^2+R^2}})^{3/2}} \cdot Rd\theta\]

Упростим эту формулу:

\[\oint_{Г} B \cdot dl = \frac{{\mu_0 \cdot I \cdot r^2 \cdot R \cdot \sqrt{r^2+R^2}}}{4 \cdot \pi \cdot (r^2+R^2-2 \cdot r^2)^{3/2}} \cdot \int_{0}^{2\pi}d\theta\]

Интеграл от \(\theta\) по всему контуру даёт значение \(2\pi\), поэтому:

\[\oint_{Г} B \cdot dl = \frac{{2\pi \cdot \mu_0 \cdot I \cdot r^2 \cdot R \cdot \sqrt{r^2+R^2}}}{4 \cdot \pi \cdot (R^2-r^2)^{3/2}}\]

Таким образом, циркуляция вектора магнитной индукции вдоль контура Г равна:

\[\oint_{Г} B \cdot dl = \frac{{2\pi \cdot \mu_0 \cdot I \cdot r^2 \cdot R \cdot \sqrt{r^2+R^2}}}{4 \cdot \pi \cdot (R^2-r^2)^{3/2}}\]

В данном выражении мы использовали закон Био-Савара-Лапласа для нахождения магнитного поля \(B\), а затем проинтегрировали его по контуру Г для нахождения циркуляции. Такое подробное объяснение позволяет лучше понять процесс и придти к точному математическому результату.