Какова длина боковой стороны вравнобедренного треугольника, у которого угол при основании равен 75 градусов и площадь

Муха_1284

63

Чтобы решить задачу, мы можем использовать связь между углами и сторонами вравнобедренного треугольника. Вравнобедренный треугольник имеет две равные боковые стороны и два равных угла.

В нашем случае, мы знаем, что угол при основании равен 75 градусов. Так как треугольник вравнобедренный, это означает, что другие два угла также равны по мере \(75^\circ\).

Мы также знаем, что площадь треугольника равна 16 квадратным сантиметрам. Формула для вычисления площади треугольника состоит в половине произведения длины основания на высоту треугольника. Поскольку треугольник вравнобедренный, высота будет опущена из вершины на середину основания и будет делить основание на две равные части.

Давайте обозначим длину основания как \(b\), а длину боковой стороны как \(s\). Тогда высота также будет равна \(s\), и мы можем записать формулу для площади треугольника:

\[\frac{1}{2} \cdot b \cdot s = 16\]

Так как треугольник вравнобедренный, длина боковой стороны будет одинаковой с длиной высоты и мы можем записать:

\[\frac{1}{2} \cdot b \cdot s = 16\]
\[b \cdot s = 32\]

Теперь нам нужно использовать связь между углами и сторонами. Для этого мы можем использовать теорему синусов. В треугольнике, где два угла равны \(75^\circ\), мы можем записать следующее:

\[\frac{s}{\sin(75^\circ)} = \frac{b}{\sin(30^\circ)}\]

Мы знаем значения синусов \(75^\circ\) и \(30^\circ\) (вы можете использовать таблицу синусов или калькулятор). Синус \(75^\circ\) равен \(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\), а синус \(30^\circ\) равен \(\frac{1}{2}\). Подставим значения:

\[\frac{s}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{b}{\frac{1}{2}}\]

Домножим оба выражения на \(\frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}\), чтобы избавиться от дроби в знаменателе:

\[s = 2b(\sqrt{6} + \sqrt{2})\]

Теперь мы можем подставить это выражение в уравнение \(b \cdot s = 32\) и решить его:

\[b \cdot (2b(\sqrt{6} + \sqrt{2})) = 32\]
\[2b^2(\sqrt{6} + \sqrt{2}) = 32\]
\[b^2(\sqrt{6} + \sqrt{2}) = 16\]
\[b^2 = \frac{16}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}\]
\[b = \sqrt{\frac{16}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}}\]

Таким образом, длина боковой стороны вравнобедренного треугольника равна \(\sqrt{\frac{16}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}}\).