Какой является меньшая диагональ правильного восьмиугольника с одинаковой длиной стороны?

Hvostik

65

Чтобы найти меньшую диагональ правильного восьмиугольника, нам понадобится использовать свойства этой фигуры. Для начала, давайте рассмотрим, что такое правильный восьмиугольник. Правильный восьмиугольник - это восьмиугольник, у которого все стороны и все углы равны между собой.

Поскольку все стороны правильного восьмиугольника равны, мы можем сделать вывод, что все диагонали, и главные, и побочные, также равны друг другу. Диагональ - это отрезок, соединяющий две вершины восьмиугольника, не являющиеся соседними.

Теперь, чтобы найти меньшую диагональ, нам нужно определить, какие диагонали мы считаем "меньшими". Давайте рассмотрим две диагонали: одну, которая соединяет вершины, лежащие противоположно друг другу, и другую, которая соединяет соседние вершины.

Пусть длина стороны правильного восьмиугольника равна \(s\). Тогда для диагонали, соединяющей вершины, лежащие противоположно друг другу, её длина равна длине диагонали регулярного восьмиугольника \(s\). Представим себе восьмиугольник, и мы можем нарисовать границы восьмиугольника так чтобы он приобрел форму похожую на звезду, тогда получатся еще две диагонали, но все эти диагонали будут равны длине диагонали регулярного восьмиугольника \(s\), они соединяют вершины лежащие противоположно друг другу.

Теперь рассмотрим диагональ, соединяющую соседние вершины. В правильном восьмиугольнике есть 8 вершин, и каждая вершина соединена с тремя соседними вершинами. Если мы нарисуем эту диагональ, она разделит восьмиугольник на два прямоугольных треугольника. Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения её длины.

Пусть \(d\) - длина диагонали, соединяющей соседние вершины. Тогда, с помощью теоремы Пифагора, мы можем записать:
\[\sqrt{s^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2} = d\]

Раскрывая скобки и упрощая, получим:
\[\sqrt{\frac{4s^2}{4} + \frac{s^2}{4}} = d\]
\[\sqrt{\frac{5s^2}{4}} = d\]
\[\frac{s\sqrt{5}}{2} = d\]

Таким образом, длина диагонали, соединяющей соседние вершины в правильном восьмиугольнике, равна \(\frac{s\sqrt{5}}{2}\).

Теперь у нас есть две возможные диагонали: диагональ, равная длине диагонали регулярного восьмиугольника \(s\) и диагональ, соединяющая соседние вершины, с длиной \(\frac{s\sqrt{5}}{2}\). Чтобы найти меньшую из них, нам нужно установить соотношение между \(s\) и \(\frac{s\sqrt{5}}{2}\).

Для этого, давайте сравним эти две диагонали:
\[s \quad ? \quad \frac{s\sqrt{5}}{2}\]

Если мы умножим обе части на 2, то получим:
\[2s \quad ? \quad s\sqrt{5}\]

Теперь нам нужно сравнить \(2s\) и \(s\sqrt{5}\). Для этого нам нужно найти отношение между этими двумя значениями. Разделим \(s\sqrt{5}\) на \(2s\):
\[\frac{s\sqrt{5}}{2s} = \frac{\sqrt{5}}{2}\]

Таким образом, мы можем сделать вывод, что диагональ, соединяющая соседние вершины, \(\frac{s\sqrt{5}}{2}\), больше, чем диагональ, равная длине диагонали регулярного восьмиугольника \(s\).

Таким образом, меньшая диагональ правильного восьмиугольника с одинаковой длиной стороны - это диагональ, равная длине стороны восьмиугольника \(s\).