Какова длина большего основания трапеции, если средняя линия делится её диагональю на отрезки 12 см и

Всеволод

55

Решим данную задачу.

Пусть \(ABCD\) — трапеция, где \(AB\) и \(CD\) — основания, \(EF\) — средняя линия (половина суммы оснований), \(EG\) и \(FH\) — отрезки, на которые средняя линия \(EF\) делит диагональ \(AC\).

Дано: \(EG = FH = 12 см\)

Так как \(EF\) — средняя линия, то \(EF = \frac{AB + CD}{2}\), и также из свойств трапеции \(AC = \sqrt{EG \cdot FH + EF^2}\).

Таким образом, у нас есть два уравнения:

1. \(EF = \frac{AB + CD}{2}\)
2. \(AC = \sqrt{EG \cdot FH + EF^2}\)

Мы знаем, что \(EG = FH = 12\), итак, \(AC = \sqrt{12 \cdot 12 + EF^2} = \sqrt{144 + EF^2}\).

Также, \(EF = \frac{AB + CD}{2}\) или \(EF = \frac{AB + (AB + x)}{2}\), где \(x\) — длина большего основания, которую мы ищем. Следовательно, \(EF = \frac{2AB + x}{2} = AB + \frac{x}{2}\).

Подставим \(EF = AB + \frac{x}{2}\) в уравнение \(AC = \sqrt{144 + EF^2}\):

\[
\sqrt{144 + (AB + \frac{x}{2})^2} = \sqrt{144 + AB^2 + xAB + \frac{x^2}{4}}
\]

Теперь подставим данное выражение в \(AC\), получим:

\[
\sqrt{144 + AB^2 + xAB + \frac{x^2}{4}} = \sqrt{144 + x^2}
\]

Из предыдущего выражения видим, что:

\[
AB^2 + xAB + \frac{x^2}{4} = x^2
\]

\[
AB^2 + xAB = \frac{3}{4}x^2
\]

\[
AB(AB + x) = \frac{3}{4}x^2
\]

Таким образом, длина большего основания трапеции \(AB\) равна \(\frac{3}{4}x\). В данной задаче, \(AB = \frac{3}{4}x = 12\), следовательно, \(x = 16\) см.

Итак, длина большего основания трапеции равна 16 см.