Какова длина большей стороны параллелограмма, если его диагонали равны 10 и 6, а косинус угла между ними равен 1/15?

Оксана

47

Для решения этой задачи, мы можем использовать теорему косинусов.

Давайте обозначим длину большей стороны параллелограмма как \(a\), а длину меньшей стороны как \(b\).

Мы знаем, что длины диагоналей параллелограмма равны 10 и 6. Обозначим их как \(d_1\) и \(d_2\) соответственно.

Также, нам известно, что косинус угла между диагоналями равен \(\frac{1}{15}\).

Согласно теореме косинусов, мы можем записать следующее уравнение:

\[a^2 + b^2 - 2ab\cos(\theta) = d_1^2\]

где \(\theta\) - угол между диагоналями параллелограмма.

В нашем случае, можем записать следующее уравнение:

\[a^2 + b^2 - 2ab\left(\frac{1}{15}\right) = 10^2\]

Мы также знаем, что диагонали параллелограмма делятся пополам углами параллелограмма. Так как косинус угла между диагоналями положителен, это означает, что угол \(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\).

Теперь мы можем использовать данное уравнение, чтобы найти длину большей стороны \(a\):

\[a^2 + b^2 - \frac{2}{15}ab = 100\]

Мы также можем использовать известное равенство диагоналей:

\[a^2 + b^2 + 2ab = 36\]

Объединим эти два уравнения и упростим:

\[2a^2 - \frac{28}{15}ab + 36 = 0\]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение по \(a\) с помощью дискриминанта. Выразим дискриминант как:

\[D = \left(\frac{28}{15}ab\right)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 36\]

Теперь выразим \(a\) через \(D\) и используем формулу для квадратного уравнения:

\[a = \frac{-\frac{28}{15}b \pm \sqrt{D}}{4}\]

Подставим изначальное уравнение для диагонали:

\[b^2 + \left(\frac{14}{15}b\right)^2 - \frac{2}{15}b^2 = 10^2\]

Упростим и решим это уравнение:

\[\frac{85}{225}b^2 = 100 - \frac{196}{225}b^2\]

\[\frac{281}{225}b^2 = 100\]

\[b = \sqrt{\frac{225}{281} \cdot 100}\]

А теперь можем найти значение \(a\) с помощью формулы для квадратного уравнения:

\[a = \frac{-\frac{14}{15}\sqrt{\frac{225}{281} \cdot 100} \pm \sqrt{D}}{4}\]

Используя эти выражения, мы можем получить два возможных значения для \(a\). Одно из них будет являться длиной большей стороны параллелограмма. Но для нахождения конкретного значения \(a\) нам нужно знать значение \(b\).

Таким образом, получение конкретного значения для длины большей стороны параллелограмма требует знания значения \(b\), которое мы пока не знаем.