Предположим, что x и y - натуральные числа такие, что 7x+9y является кратным 11. Б) Если сумма натуральных чисел m

Turandot

21

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать основные свойства делимости и умение факторизовать выражения. Давайте начнем!

Дано, что \(7x + 9y\) является кратным 11. Для начала, заметим, что 11 и 7 взаимно простые числа, то есть их наибольший общий делитель равен 1. Поэтому, чтобы выражение \(7x + 9y\) было кратным 11, сумма коэффициентов \(7x\) и \(9y\) должна быть кратной 11.

Теперь давайте перейдем ко второй части задачи. Дано, что сумма натуральных чисел \(m\) и \(n\) делится на 7, то есть \(m + n\) является кратным 7.

Для доказательства, что выражение \(2m^2 + 5mn + 3n^2\) также является кратным 7, воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: Проверим базовый случай, когда \(m + n = 7\).

Подставим \(m + n = 7\) в выражение \(2m^2 + 5mn + 3n^2\):

\[2m^2 + 5mn + 3n^2 = 2m^2 + 5mn + 3n^2 = 2m^2 + 5m(7-m) + 3(7-m)^2\]

Мы знаем, что \(m + n = 7\), поэтому \(n = 7 - m\). Подставим это значение в выражение:

\[2m^2 + 5mn + 3n^2 = 2m^2 + 5m(7-m) + 3(7-m)^2 = 2m^2 + 35m - 5m^2 + 3(49 - 14m + m^2)\]

Упростим это выражение:

\[2m^2 + 35m - 5m^2 + 3(49 - 14m + m^2) = 2m^2 + 35m - 5m^2 + 147 - 42m + 3m^2\]

Дальше, сгруппируем слагаемые:

\[(2m^2 - 5m^2 + 3m^2) + (35m - 42m) + (147) = 0 + (-7m) + (147)\]

Мы видим, что получившееся выражение равно \(-7m + 147\), которое кратно 7. Таким образом, базовый случай подтверждает, что когда \(m + n = 7\), выражение \(2m^2 + 5mn + 3n^2\) также является кратным 7.

Шаг 2: Предположим, что для \(m + n = k\) выражение \(2m^2 + 5mn + 3n^2\) кратно 7.

Шаг 3: Докажем, что для \(m + n = k + 1\) выражение \(2m^2 + 5mn + 3n^2\) также кратно 7.

Предположим, что \(m + n = k + 1\). Тогда, мы должны рассмотреть случаи, когда \(m + n = k\) и прибавить еще одно натуральное число.

- Если \(m + n = k\) и мы добавляем 1 в выражение \(2m^2 + 5mn + 3n^2\), то получим следующее выражение:

\[2m^2 + 5mn + 3n^2 + 2m + 5n\]

Мы знаем, что \(2m^2 + 5mn + 3n^2\) кратно 7, согласно предположению индукции. Поэтому, мы можем записать это выражение как \(7a\), где \(a\) - некоторое натуральное число.

Тогда, мы можем переписать выражение в следующем виде:

\[7a + 2m + 5n\]

Для того чтобы этот результат был кратным 7, необходимо, чтобы \(2m + 5n\) также было кратным 7. То есть, мы должны доказать, что если \(m + n = k\) кратно 7, то \(2m + 5n\) тоже кратно 7. Это можно сделать, раскладывая \(m\) и \(n\) по модулю 7:

\[m = 7p + r, \quad n = 7q + s,\]

где \(p, q\) - некоторые целые числа, а \(r, s\) - остатки от деления \(m\) и \(n\) на 7.

Теперь, подставим уравнения для \(m\) и \(n\) в выражение \(2m + 5n\):

\[2m + 5n = 2(7p + r) + 5(7q + s) = 14p + 2r + 35q + 5s = 7(2p + 7q) + 2r + 5s\]

Мы видим, что получившееся выражение равно \(7(2p + 7q) + 2r + 5s\), которое кратно 7. То есть, если \(m + n = k\) кратно 7, значит выражение \(2m + 5n\) также кратно 7.

Таким образом, мы доказали, что если сумма натуральных чисел \(m\) и \(n\) делится на 7, то число \(2m^2 + 5mn + 3n^2\) также является кратным 7.

Надеюсь, это объяснение было понятным и помогло вам понять решение данной задачи! Если у вас возникнут еще вопросы, буду рад помочь вам!