Какова длина большой диагонали параллелограмма, если его периметр равен 34 см, площадь равна 36 см², а синус острого

Ledyanoy_Ogon

63

Для решения данной задачи воспользуемся следующими свойствами параллелограмма:

1. В параллелограмме противоположные стороны равны.
2. В параллелограмме противоположные углы равны.

По условию задачи нам дан периметр и площадь параллелограмма. Давайте воспользуемся этими данными для нахождения длин сторон.

Пусть стороны параллелограмма обозначены как \(a\) и \(b\).

Так как периметр равен 34 см, у нас есть уравнение:

\[2(a+b) = 34\]

Раскрыв скобки, получим:

\[2a + 2b = 34\]

Делаем вывод, что:

\[a + b = 17\]

Теперь воспользуемся формулой для площади параллелограмма:

\[S = a \cdot h\]

Где \(S\) - площадь параллелограмма, а \(h\) - высота, опущенная на любую из сторон.

По условию задачи площадь равняется 36 см², поэтому:

\[a \cdot h = 36\]

Из уравнения \(a + b = 17\) можно выразить \(a\) следующим образом:

\[a = 17 - b\]

Подставим это значение в уравнение для площади:

\[(17 - b) \cdot h = 36\]

Раскроем скобки:

\[17h - bh = 36\]

Так как площадь параллелограмма можно выразить как произведение основания на высоту, то \(bh\) - это площадь пятиугольника, образованного сторонами параллелограмма и высотой.

Теперь, давайте воспользуемся информацией о синусе острого угла параллелограмма. Синус острого угла равен отношению высоты к стороне. В нашем случае это:

\[\sin(\theta) = \frac{h}{b}\]

По условию задачи синус острого угла равен \(\frac{3}{5}\), поэтому:

\[\frac{h}{b} = \frac{3}{5}\]

Мы имеем систему уравнений:

\[
\begin{align*}
17h - bh &= 36 \\
\frac{h}{b} &= \frac{3}{5}
\end{align*}
\]

Для решения этой системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки или методом избавления от переменной.

Продолжим решение, используя метод подстановки.

Из второго уравнения выразим \(h\) через \(b\):

\[h = \frac{3}{5}b\]

Теперь подставим это значение в первое уравнение:

\[17 \cdot \left(\frac{3}{5}b\right) - b \cdot h = 36\]

Упростим выражение:

\[\frac{51}{5}b - \frac{3}{5}b^2 = 36\]

Умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от знаменателя:

\[51b - 3b^2 = 180\]

Теперь приведем уравнение к квадратному виду, перенесем все члены влево:

\[3b^2 - 51b + 180 = 0\]

Мы получили квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы дискриминанта:

\[b = \frac{-(-51) \pm \sqrt{(-51)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 180}}{2 \cdot 3}\]

Вычислив это выражение, получим два возможных значения для \(b\): 10 и 6.

Для первого решения (\(b = 10\)) найдем \(h\):

\[h = \frac{3}{5} \cdot 10 = 6\]

Теперь найдем \(a\):

\[a = 17 - b = 17 - 10 = 7\]

Проверим, подходят ли найденные значения. Построим параллелограмм с найденными сторонами: сторона \(a = 7\) и сторона \(b = 10\). Как видно, этот параллелограмм имеет площадь 70, а не 36. Значит, это не является верным решением.

Попробуем второе решение (\(b = 6\)):

\[h = \frac{3}{5} \cdot 6 = 3.6\]

\[a = 17 - b = 17 - 6 = 11\]

Построим параллелограмм с сторонами \(a = 11\) и \(b = 6\). Можно проверить, что площадь этого параллелограмма равна 36, что соответствует условию задачи.

Теперь, чтобы найти длину большой диагонали, воспользуемся теоремой Пифагора для получения треугольника, образованного сторонами параллелограмма и его диагоналями.

В треугольнике:

\[
\begin{align*}
a^2 + b^2 &= c^2 \\
11^2 + 6^2 &= c^2 \\
121 + 36 &= c^2 \\
157 &= c^2 \\
c &\approx 12.53 \text{ см}
\end{align*}
\]

Таким образом, длина большой диагонали параллелограмма примерно равна 12.53 см.

Это подробное и пошаговое решение задачи, которое должно быть понятно для школьника.