Какова длина диагоналей параллелограмма, если его стороны равны 3 см и 6 см, а угол между ними составляет 120°?

Edinorog_9401

7

Для решения этой задачи нам понадобится знание тригонометрии и геометрии параллелограмма.

1. Начнем с построения параллелограмма с заданными размерами сторон \(3\) см и \(6\) см.


2. Поскольку у нас задан угол между этими сторонами (\(120^{\circ}\)), мы можем использовать косинусную теорему для вычисления длины диагоналей.

Косинусная теорема гласит: \(c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(C)\), где \(c\) - сторона, противолежащая углу \(C\), а \(a\) и \(b\) - две другие стороны треугольника.

В нашем случае:

- Пусть стороны параллелограмма \(AB\) и \(AD\) равны \(3\) см и \(6\) см соответственно.
- Угол между этими сторонами равен \(120^{\circ}\).
- Нам нужно найти длины диагоналей, обозначим их как \(AC\) и \(BD\).

3. Вычислим первую диагональ \(AC\).
Подставим в косинусную теорему известные значения:

\[AC^{2} = 3^{2} + 6^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot \cos(120^{\circ})\]

Поскольку \(\cos(120^{\circ}) = -0.5\):

\[AC^{2} = 3^{2} + 6^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot (-0.5)\]

После вычислений:

\[AC^{2} = 9 + 36 + 18 = 63\]

Получаем, что \(AC^{2} = 63\).

Для нахождения длины диагонали \(AC\) нужно извлечь квадратный корень из обеих сторон уравнения:

\[AC = \sqrt{63}\]

Округлим это значение до двух десятичных знаков:

\[AC \approx 7.94\, \text{см}\]

4. Теперь рассчитаем вторую диагональ \(BD\) аналогичным образом.
Подставим в косинусную теорему известные значения:

\[BD^{2} = 3^{2} + 6^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot \cos(120^{\circ})\]

Поскольку \(\cos(120^{\circ}) = -0.5\):

\[BD^{2} = 3^{2} + 6^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot (-0.5)\]

После вычислений:

\[BD^{2} = 9 + 36 + 18 = 63\]

Таким образом, \(BD^{2} = 63\).

Для нахождения длины диагонали \(BD\) нужно извлечь квадратный корень из обеих сторон уравнения:

\[BD = \sqrt{63}\]

Округлим это значение до двух десятичных знаков:

\[BD \approx 7.94\, \text{см}\]

Таким образом, длина диагоналей параллелограмма с заданными размерами сторон и углом составляет примерно \(7.94\) см.