Какова длина диагоналей параллелограмма, если его стороны равны 8 см и 3 см, а угол между ними составляет 120°?

Yakor

19

Для решения данной задачи, нам понадобятся знания о свойствах параллелограмма и тригонометрии. Давайте начнем.

Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны по длине. Также, параллелограмм имеет противоположные углы, которые равны между собой.

В нашем случае, дано, что стороны параллелограмма равны 8 см и 3 см, а угол между ними составляет 120°.

Сначала найдем длину одной из диагоналей параллелограмма. Для этого воспользуемся теоремой косинусов.

В параллелограмме, диагонали делятся пополам и образуют два равных треугольника. Поэтому, если мы найдем длину одной из диагоналей, мы сможем умножить ее на 2, чтобы найти длину обеих диагоналей.

Обозначим стороны параллелограмма как a = 8 см, b = 3 см и угол между ними как C = 120°.

Применим теорему косинусов для треугольника со сторонами a, b и углом C, чтобы найти длину одной из диагоналей:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C\]

Подставим известные значения:

\[c^2 = 8^2 + 3^2 - 2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot \cos 120°\]

Выполним расчеты:

\[c^2 = 64 + 9 - 48 \cdot \cos 120°\]

Упростим дальше:

\[c^2 = 73 - 48 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\]

\[c^2 = 73 + 24\]

\[c^2 = 97\]

Чтобы найти длину диагонали c, возьмем квадратный корень от обоих частей уравнения:

\[c = \sqrt{97}\]

Округлим это значение до двух десятичных знаков:

\[c \approx 9.85\] см

Теперь, чтобы найти длину обеих диагоналей, умножим полученное значение на 2:

\[Длина\ диагоналей = 2c \approx 2 \cdot 9.85 \approx 19.7\] см

Итак, диагонали параллелограмма имеют длину около 19.7 см.