Какова длина диагоналей параллелограмма, если его стороны равны 1 см и 6 см, а угол между ними составляет 120°?

Bulka

13

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать теорему косинусов и знание свойств параллелограмма.

1. Начнем с рисования параллелограмма. По условию задачи, у нас есть параллелограмм с двумя сторонами: одна равна 1 см, а другая - 6 см. Угол между этими сторонами равен 120°. Давайте нарисуем его.

А ------ B
| |
| |
| |
D ------ C

2. Параллелограмм имеет две пары равных сторон, и углы, противостоящие равным сторонам, также равны. В нашем случае, AB = CD = 1 см и BC = DA = 6 см. Угол BAD = угол BCD, и угол ABC = угол CDA.

3. Для нахождения длин диагоналей параллелограмма, мы можем воспользоваться теоремой косинусов. Пусть AC - диагональ параллелограмма, а BD - вторая диагональ.

Теорема косинусов гласит: \[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)\]
- где c - длина стороны, противостоящей углу C, a и b - длины других двух сторон параллелограмма, а C - угол между сторонами a и b.

4. Для нахождения диагоналей, нам нужно рассмотреть треугольники ABD и BCD. Для треугольника ABD, мы можем применить теорему косинусов с длинами сторон AD (1 см), AB (1 см) и углом ABD (120°).

Для треугольника BCD, мы также можем применить теорему косинусов с длинами сторон BC (6 см), CD (1 см) и углом BCD (120°).

5. Рассчитаем длину диагонали AC с использованием теоремы косинусов для треугольника ABD:

\[AC^2 = AD^2 + AB^2 - 2 \cdot AD \cdot AB \cdot \cos(ABD)\]

\[AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)\]

\[AC^2 = 1 + 1 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-0.5)\]

\[AC^2 = 2 + 1 = 3\]

Таким образом, длина диагонали AC равна \(\sqrt{3}\) см.

6. Теперь рассчитаем длину диагонали BD с использованием теоремы косинусов для треугольника BCD:

\[BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(BCD)\]

\[BD^2 = 6^2 + 1^2 - 2 \cdot 6 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)\]

\[BD^2 = 36 + 1 - 2 \cdot 6 \cdot 1 \cdot (-0.5)\]

\[BD^2 = 37 + 6 = 43\]

Таким образом, длина диагонали BD равна \(\sqrt{43}\) см.

7. Ответ: Длина диагоналей параллелограмма равна \(\sqrt{3}\) см и \(\sqrt{43}\) см.