Какова длина диагоналей параллелограмма с равными сторонами длиной 3 см и углом между ними в 120 градусов?

Вода

52

Чтобы найти длины диагоналей параллелограмма с равными сторонами и известным углом между ними, мы можем использовать теорему косинусов.

Давайте обозначим сторону параллелограмма через \(a\) и угол между ними через \(\theta\).

В данной задаче сторона \(a\) равна 3 см, а угол между сторонами равен 120 градусам.

Теперь мы можем использовать теорему косинусов, которая гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos{\theta}\]

где \(c\) - длина диагонали, \(a\) - длина одной стороны параллелограмма, \(b\) - длина другой стороны параллелограмма, а \(\theta\) - угол между сторонами.

В нашем случае, угол \(\theta\) равен 120 градусам, сторона \(a\) равна 3 см, и сторона \(b\) также равна 3 см (поскольку у нас параллелограмм с равными сторонами).

Подставляя значения в формулу, получаем:

\[c^2 = 3^2 + 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \cos{120^\circ}\]

Угол \(120^\circ\) соответствует углу в сферической системе координат, но формула косинусов использует радианы. Поэтому нам нужно перевести градусы в радианы.

Используем следующее соотношение между градусами и радианами: \(\pi\) радиан = \(180^\circ\).

Таким образом, угол \(120^\circ\) равен \(\frac{2\pi}{3}\) радиан.

Теперь подставим все значения и продолжим вычисления:

\[c^2 = 9 + 9 - 18 \cos{\left(\frac{2\pi}{3}\right)}\]

Вычислим \(\cos{\left(\frac{2\pi}{3}\right)}\).

Для угла \(\frac{2\pi}{3}\) (120 градусов) значение косинуса равно \(-\frac{1}{2}\).

Подставляя значение косинуса, получаем:

\[c^2 = 9 + 9 - 18 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\]

Упрощаем выражение:

\[c^2 = 9 + 9 + 9\]

\[c^2 = 27\]

Теперь, чтобы найти длину диагонали \(c\), возьмем квадратный корень из обоих сторон:

\[c = \sqrt{27} \approx 5,20\]

Таким образом, длина каждой диагонали параллелограмма равна около 5,20 см.